무기효과분석에 근거한 초소형 자연형 파편탄두 설계

2.1 대인무력화확률

초소형 유도탄의 대인무기효과분석에 근거한 탄두설계를 위해서는 먼저 탄두 폭발 시 발생하는 파편이 대인표적에 주는 피해 수준을 평가할 수 있어야 한다. 이를 위해 스페라자와 코키나키스는 총알이나 파편들이 신체에 주는 피해수준을 유사 실험과 분석을 통해 대인무력화확률을 예측할 수 있는 방법을 제안하였다.

스페라지 & 코키나키스 대인무력화확률 P_I/H은 다음 식(1-a)과 같으며, 식(2-b)의 스페라자 에너지(Sperrazza Energy) E_SP의 함수로 표현된다.⁵

여기서, m은 파편 질량(Grain), V는 대인 신체 충돌 시 파편의 충돌속도(ft/sec), a, b, n는 무력화기준(Casualty Criterion)과 신체피격위치 및 병사 착용복장에 따라 결정되는 실험적 계수(Coefficient), E_SP는 V의 충돌속도와 m의 질량을 갖는 파편의 스페라자 에너지(grain(ft/sec)^3/2)이다. 참고로 그레인(Grain)은 질량 단위로 7000분의 1 lb 즉, 0.0648989 gram을 의미한다.

식(1-a)의 계수(Coefficient) 중 b는 한계 스페라자 에너지(Threshold Sperrazza Energy)라 불리며 주어진 파편질량과 충돌 속도에 의해 계산된 스페라자 에너지 E_SP 값이 한계 스페라자에너지인 b 값 이하인 경우 파편은 신체 내로 침투하지 못해 부상을 입히지 못하며 식(1-a)에 의해 대인무력화확률, P_I/H는 0이 된다.

또한, 임의 파편 질량에 대해 한계 스페라자에너지 b에 도달하는 파편 충돌속도를 한계충돌속도(Threshold Impact Velocity) V_th라 정의하며 이것을 식으로 표현하면 다음 식(1-c), 식(1-d)와 같다.

식(1)의 계수 a, b, n은 야드-파운드 단위계로 수행된 실험에 의해 결정된 값이므로 기존에 제시된 실험계수 값을 계속해서 사용하며, SI 단위계(MKS 단위계)로 표현된 수식 전개를 위해서는 식(1)의 파편 질량과 속도만 SI 단위계(MKS 단위계)로 변환하여 식(1)을 표현하면 식(2)와 같다.

여기서, m_mks는 파편 질량(kg), V_mks는 파편의 충돌속도(m/sec), a, b, n은 무력화기준(Casualty Criterion)과 신체 피격위치 및 병사 착용복장에 따라 실험적으로 결정된 계수(Coefficient)로 식(1-a)에 표현된 수치와 동일한 값, E_SP는 V_mks의 충돌속도와 m_mks의 질량을 갖는 파편이 갖는 야드-파운드 단위로 변환된 스페라자 에너지(grain(ft/sec)^3/2), V_{th_mks}는 한계충돌속도(m/sec)이다.

병사에게 가해진 피해수준 분류는 병사가 부상을 입은 시점으로부터 더 이상 임무를 수행할 수 없는 시간 간격(Time Interval)에 따라 달라지며, 병사가 파편이나 총알 등에 피격되어 부상을 입게 되면 부상위치에 따른 피해수준도 달라지게 된다.

결론적으로 식(2)의 대인무력화확률 계산 시 사용되는 실험계수 값은 부상위치와 임무수행이 불가한 시간간격에 따라 달라지게 된다.⁶

그러나, 본 연구에서는 초소형 유도탄용 탄두설계에 있어서 탄두의 직경과 무게 요구조건 외에는 다른 설계요구조건이 정해지지 않은 유도탄 개발 초기상태에서 탄두의 대인 무력화 효과분석에 근거한 탄두설계 방법을 다루고자 한다. 따라서, 분석의 편의를 위해 각 신체위치 면적 당 무력화 확률을 전신 면적으로 나눈 전신(Whole Body) 실험계수 값을 사용하였으며, 사용한 전신 실험계수 값은 다음과 같다.⁵

a = 7.47 × 10^-3, b = 21,200, n = 0.3629

참고로 실험계수 값은 병사가 헬멧과 두꺼운 동복을 착용하고 있더라도 피격 시 5분 내 병사의 공격능력이 상실되는 무력화 기준(Casualty Criterion) 시 적용하는 실험계수 값으로 미 육군연구소(ARL: Army Research Laboratory)가 제시한 값이다.⁵

2.2 표적거리에 따른 파편속도

식(2)로부터 대인무력화확률은 파편질량과 충돌속도를 높이면 증가하게 되나 파편의 충돌속도는 공기저항에 의해 탄두가 폭발하는 위치에서 발생하는 파편 초기속도 보다 감소하게 된다.

탄두폭발 지점에서 발생한 파편의 초기속도 V₀와 거리 x 만큼 떨어진 표적에서의 파편 충돌속도는 다음 식과 같다.⁷

여기서, x는 탄두 폭발 위치에서 떨어진 거리(m), V_x(x)는 x 만큼 떨어진 표적에 충돌하는 파편속도(m/sec), V₀는 탄두 폭발 시 파편의 초기속도(m/sec), ρ_air는 공기밀도(kg/m³), C_D는 파편 형상에 따른 항력계수, A_frag는 파편 진행방향에 수직한 면에 투영된 파편의 단면적(m²), m_mks는 파편 질량(kg)이다.

식(3)의 파편 단면적 A_frag의 경우 파편의 밀도와 파편 형상 추정을 통해 식(4)와 같이 구할 수 있다.

이때 각 파편은 정육면체, 구, 원기둥 (길이/직경=1) 중의 한 형태를 갖는다고 가정하였으며, 보수적인 탄두 효과분석을 위해 파편은 회전운동에 의해 진행방향 중 가장 큰 투영단면적을 갖고 공기 중을 이동한다고 가정하고 파편 단면적을 구하였다.

또한, 식(4)에서 각 파편에 대한 파편 단면형상계수를 정리하면 다음 식(5)와 같다.

여기서 S_{f_cubic}는 정육면체 파편의 단면형상계수(m²/kg^2/3), S_{f_sphere}는 구형 파편의 단면형상계수(m²/kg^2/3), S_{f_cylinder}는 길이/직경 비가 1인 원기둥 파편의 단면형상계수(m²/kg^2/3)이다.

결론적으로 식(4)와 식(5)를 이용하여 거리에 따른 파편속도 식(3)을 재정리하면 식(6)과 같이 거리에 따른 파편속도, V_x(x)는 파편의 재질과 파편의 초기속도가 결정되면 구할 수 있게 된다. 또한, 탄두효과분석에 있어서 파편의 비행시간은 상대적으로 매우 짧기 때문에 본 연구에서는 중력에 의한 파편 속도변화 및 방향변화는 고려하지 않았다.

여기서, S_f는 파편의 재질과 형상에 따른 파편의 단면 형상계수(m²/kg^2/3)이다.

2.3 자연형 파편탄두 폭발 시 파편 초기속도

파편형 탄두에는 자연형 파편(Natural Fragment), 조절형 파편(Controlled Fragment) 및 성형 파편(Preformed Fragment) 등이 있으나 가장 저렴하고 손쉽게 제작 가능한 자연형 파편탄두를 고려하였다.

원기둥 형태의 자연형 파편탄두가 폭발 시 파편의 초기속도, V₀는 거니(Gurney) 방정식을 이용해 다음 식(7)과 같이 구할 수 있다.⁸

여기서, V₀는 탄두 폭발 시 발생하는 파편의 초기속도(m/sec), $$ \sqrt{2E}$$는 화약종류에 따라 실험적으로 결정된 거니(Gurney) 상수(m/sec), E는 화약의 단위질량 당 에너지를 에너지 변환 손실을 고려하여 실험적으로 구한 단위질량 당 운동에너지($$ 0.5V_e^2$$) (m/sec)², C_exp는 탄두 내 화약의 질량(kg), M_case은 파편이 되는 탄두의 금속케이스 질량(kg), C_exp/M_case은 탄두의 단위 길이 단면적 당 금속케이스 질량과 화약량의 비율이다.

식(7)은 무한대의 길이를 갖는 원기둥 형태의 자연형 파편탄두(Natural Fragment Warhead)가 폭발할 때 발생하는 파편의 초기 속도에 대한 방정식으로 탄두의 길이에 대한 영향이 배제된 식이나 탄두의 직경과 무게 만 주어진 상태에서 탄두의 대인무력화 효과를 분석하는 설계 초기에는 설계될 탄두의 길이를 변수로 설정해야 하고 설계 초기에는 설계될 탄두길이를 알 수 없으므로 탄두 길이 효과를 고려한 수정된 거니방정식(Modifed Gurney Equation)이 아닌 일반 거니 방정식을 사용하였다.

결론적으로 식(7)로부터 자연형 파편탄두 내 화약량과 금속케이스 질량이 주어지면 탄두 폭발 시 파편의 초기속도를 구할 수 있다.

2.4 파편의 평균질량 및 파편갯수

자연형 파편탄두가 폭발할 때 발생하는 파편은 다양한 크기를 갖게 되며 평균 파편질량을 중심으로 산포하는 형태를 갖게 된다. 모트(Mott)는 자연형 파편탄두가 폭발할 때 발생하는 파편들의 평균질량을 실험적으로 구하였으며,⁸ 파편의 평균질량 μ_mks를 MKS 단위계로 변환하여 나타내면 식(8)과 같다.

여기서, μ_mks는 발생하는 파편의 평균 질량(kg), B는 실험으로 결정된 화약상수(Explosive Constant) ((oz)^1/2/(in)^7/6), t는 탄두의 금속케이스 두께(m), D_i는 화약의 직경이자 금속케이스 내경(m) 이다.

식(8)로부터 파편의 평균질량을 구하기 위해서는 탄두 금속케이스 두께와 화약의 직경을 알아야 하며 탄두 금속케이스 두께는 다음 식(9)과 같이 표현될 수 있다.

여기서, t는 탄두의 금속케이스 두께(m), D_o는 탄두 외부 금속케이스 직경으로 유도탄 체계로부터 주어지는 값(m), D_i는 화약의 직경이자 금속케이스 내경(m)이다.

탄두의 외경, 금속케이스 재질, 화약의 종류 및 폭발 시 요구되는 파편의 초기속도로부터 화약의 직경이자 금속케이스 내경 D_i는 거니 방정식을 이용하여 식(10)과 같이 구할 수 있다.

여기서, D_i는 탄두 금속케이스 내부직경이자 화약직경(m), D_o는 탄두 외부직경으로 금속케이스 외부직경(m), ρ_m는 금속케이스 재질의 밀도(kg/m³), ρ_e는 충전화약의 밀도(kg/m³), $$ \sqrt{2E}$$는 거니(Gurney) 상수(m/sec), V₀는 탄두 폭발 시 파편의 원하는 초기속도 (m/sec) 이다.

또한, 유효 탄두길이 L_wh는 탄두의 전체 질량과 부피와의 관계로부터 다음 식과 같이 구할 수 있으며 이때 고려한 탄두 내 화약 형태는 내부에 빈 공간(Void)이 없다고 가정하였다.

그리고, 탄두의 금속케이스 질량과 화약의 질량은 각각 다음과 같다.

일반적으로 탄두의 총 질량은 유도탄 체계설계로부터 주어지므로 알고 있는 값으로 최대허용탄두질량은 다음 식과 같이 표현되며 일정한 값을 갖게 된다.

여기서, M_{total_wh}는 탄두의 총 질량(kg), M_{total_wh_effect}는 유효 탄두 총 질량(kg), C_exp는 화약 질량(kg), M_case는 파편이 되는 탄두 금속케이스 질량(kg), M_dead는 탄두 앞뒤 마개 등의 각종 기계적 인터페이스용 구성품의 질량으로 파편효과가 미미한 구성품의 질량이다.

모트(Mott)는 파편의 평균질량을 기준으로 탄두 폭발 시 발생하는 파편 총 개수 N_{total_frag}를 다음 식(14)과 같이 제시하였다.⁸

여기서, N_{total_frag}는 파편의 총 개수, M_{total_wh_effect}는 유효 탄두 총 질량(kg), C_exp는 화약 질량(kg), M_case는 파편이 되는 탄두 금속케이스 질량(kg)이다.

3.1 파편 초기속도 V₀와 파편 평균질량 μ_mks관계

식(2)을 살펴보면 대인무력화확률은 파편의 대인충돌속도와 파편 질량이 커질수록 커지게 됨을 알 수 있다. 또한, 식(2-b)의 식으로부터 스페라자 에너지 E_SP는 질량 m_mks보다 대인충돌속도 V_mks에 영향을 더 받을 것이므로 탄두 폭발 시 파편 초기속도가 높은 탄두설계가 대인표적에 효과적일 것이라 생각할 수 있다.

그러나, 탄두의 외경과 중량이 제한되어 파편의 초기속도를 높이기 위해 화약을 증가시키면 그만큼 파편이 될 금속케이스 질량은 줄어들 뿐 만 아니라 과도한 폭발력에 의해 파편의 평균질량은 감소하게 될 것이라는 것을 식(7), 식(8), 식(12)를 통해 예상할 수 있다.

파편 초기속도 변화에 따른 파편의 평균질량 변화를 구해보면 다음 Fig. 1과 같다. Fig. 1은 요구되는 파편의 초기속도가 커질수록 발생하는 파편의 평균질량은 작아짐을 보여주며 대인무력화효과를 높이기 위해 파편이 높은 초기속도를 갖도록 탄두를 설계하더라도 폭발 시 발생하는 파편의 평균질량이 작아져 식(2-b)의 스페라자 에너지에 근거한 대인무력화효과는 달라지게 된다.

Fig. 1

The change of average fragment mass according to the required fragment initial velocity

3.2 파편의 스페라자 에너지(Sperrazz Energy)

Fig. 1에 나타낸 파편 초기속도와 평균질량에 대해 1개 파편이 갖는 스페라자 에너지 변화를 Figs. 2와 3에 나타내었으며 대인무력화확률은 Fig. 4에 나타내었다.

Fig. 2

The change of Sperrazza energy according to required initial fragment velocity

Fig. 3

The change of Sperrazza energy according to average fragment mass

Fig. 4

Probability of incapacitation according to required initial fragment velocity

Fig. 2을 보면 파편의 초기속도가 500 m/sec일 때 스페라자 에너지가 최대가 됨을 볼 수 있으며 이때의 파편의 평균질량은 Fig. 3으로 부터 2.1204 × 10^-4 kg (3.3 grain)임을 알 수 있다.

Fig. 4역시 초기속도 변화에 따라 스페라자 & 코키나키스 대인무력화확률 P_I/H을 나타낸 것으로 초기속도 500 m/sec에서 대인무력화확률이 최대가 됨을 볼 수 있다.

3.3 표적과의 거리에 따른 파편속도 변화

3.2절에서 대인무력화확률 및 스페라자 에너지 계산에 있어 파편의 대인충돌속도를 탄두 폭발 시 초기속도로 가정하였다. 그러나, 파편의 속도는 공기저항에 의해 표적과의 거리에 따라 감소하게 되며 표적과 충돌하게 된다.

따라서, 본 절에서는 앞에서 제시한 Table 1의 탄두설계 요구사양을 만족하는 여러가지 형태로 설계된 자연형 파편탄두가 폭발할 때 표적거리에 따른 파편의 충돌속도 변화를 Fig. 5에 나타내었다. 이때 식(6)에 파편의 단면형상계수는 보수적인 탄두 효과분석을 위해 가장 큰 값을 사용하였으며 표적과의 최대 거리는 40 m로 가정하였다.

Fig. 5

The change of fragment velocity according to target distance

Fig. 5을 살펴보면 가장 작은 파편 질량을 갖고 파편의 초기속도가 가장 높은 자연형 파편탄두 설계안(Avg. Fragment Mass = 3.2549 × 10^-6 kg (0.05 grain))의 경우, 표적 거리가 늘어 남에 따라 파편속도가 급격히 감소하여 다른 설계 안들과 비교했을 때 1 m 이상에서는 좀 더 큰 파편 질량과 작은 초기속도를 갖는 파편이 표적거리가 늘어남에 따라 더 큰 표적충돌속도를 가짐을 볼 수 있다.

이 이유로는 파편 초기속도가 큰 경우는 탄두 폭발 시 발생하는 파편의 평균질량이 상대적으로 작게 되어 식(6)로부터 표적 거리가 늘어남에 따른 속도감소가 더 커지기 때문이다.

3.4 표적거리에 따른 1개 파편의 대인무력화확률

본 절에서는 초기속도가 다른 자연형 파편탄두 설계 안에 대해서 표적거리가 늘어남에 따른 대인무력화확률 변화를 관찰하고자 한다. 이때 고려된 파편의 수는 1개이다. 각 탄두 설계 경우에 대한 거리에 따른 대인무력화확률의 변화를 Figs. 6에서 8에 나타내었다. 세계적으로 가장 많이 사용되는 M67 수류탄의 경우 무게가 390 g이며, 유효무력화반경은 15 m, 위험반경은 50 m이다. 반면에 본 연구에서 고려한 유도탄은 전체무게가 200 g이고 탄두유효질량은 50 g으로 M67보다 작으므로 최대 40 m이내의 표적거리에 대한 대인무력화확률을 관찰하였다.

Fig. 6

Probability of incapacitation with respect to the target distance according to various warhead design cases

Fig. 7

Probability of incapacitation at the near distance from the explosion center

Fig. 8

Probability of incapacitation according to target distance

Figs. 6에서 8로부터 Table 2의 7가지 탄두설계안 모두 공기저항으로 인한 파편속도 감소로 인해 33.6 m 이상의 표적거리에서는 무력화효과를 갖지 못 함을 볼 수 있다.

Table 2

Conceptual design specifications of natural fragment warhead using steel material

이 중 Case 1의 탄두 설계가 33.6 m의 가장 넓은 대인무력화반경을 갖는 반면에 4.2 m 이내의 거리에서는 Case 2의 탄두 설계가 Case 1 보다 높은 무력화효과를 가진다. 또한, 1.6 m 이내에서는 Case 3가 가장 높은 무력화효과를 가짐을 볼 수 있다.

결국, 최적 탄두설계는 표적거리 등의 체계운용 개념에 따라 선정되어야 함을 다시 한번 알 수 있으며 사용된 각 탄두 설계안별 설계제원은 Table 2에 나타내었다.

3.5 파편 개수를 고려한 대인무력화확률

3.4절에서는 1개의 파편에 대한 대인무력화확률을 다루었다. 그러나, 탄두는 폭발 시 탄두 금속케이스가 식(14)에 따라 많은 파편조각으로 나눠져 방사되게 된다. 따라서, 본 절에서는 거리에 따른 대인무력화확률 계산에 각 탄두 설계안 별 파편 개수 효과를 고려하여 대인무력화 확률을 분석하고자 한다.

먼저 앞 절에서 설정한 가정에 의해 각 탄두 폭발 시 발생하는 파편은 방위각 방향으로 균일하게 방사되며 탄두 양끝단 마개 부근에서 발생하는 파편의 비산각은 고려하지 않았다.

또한, 탄두 길이방향의 파편 역시 평행하게 방사되고, 병사의 전신투영면적을 정사각형이라 가정하면 다음 식(15)과 같이 파편개수를 고려한 대인무력화확률을 구할 수 있다.

여기서, P_{I/H_soldier}는 표적거리 x에 위치한 병사의 전신 평균투영면적에 충돌하는 파편 개수와 공기저항에 의한 충돌속도 감소를 고려한 대인무력화확률, P_I/H,i(x)는 i번째 파편이 폭심(Explosive Center)에서 거리 x만큼 떨어진 곳에서 갖는 파편속도에 의한 대인무력화확률, A_Soldier는 병사가 서 있을 때 노출되는 전신평균투영면적(0.5572 m²), n_x는 거리 x 위치에 서 있는 병사에게 충돌하는 파편 개수이다.

Table 2의 각 탄두 설계 별 파편개수를 고려하여 얻은 거리 x에 서 있는 병사에 대한 대인무력화확률 P_{I/H_soldier}는 Fig. 9와 같으며 Fig. 9(b)는 Fig. 9(a) 대인무력화확률을 10 m 이내 표적거리에 대해 자세히 나타낸 그림이다.

Fig. 9

Probability of incapacitation considering the number of total fragment and soldier’s presented area according to target distance

각 탄두설계 별 유효무력화거리(Effective Incapacitation Distance), d_{I/H_effective}와 최대무력화거리(Maximum Incapacitation Distance), d_{I/H_max}는 Table 3에 나타내었으며 유효무력화거리는 다음 식(16)과 같다.⁵ 또한, 최대무력화거리는 대인무력화확률 값이 0이 되는 거리로 정의하였다.

Table 3

Personnel incapacitation distances with respect to warhead design cases

Fig. 9와 Table 3을 살펴보면 파편개수가 가장 많은 Case 7 탄두설계안은 유효무력화거리와 최대무력화거리가 1.4 m로 가장 작으며, 파편개수가 가장 적은 Case 1의 탄두설계안의 경우 최대 무력화거리는 33.6 m로 가장 크고 유효무력화거리는 8.92 m로 작음을 알 수 있다.

Case 7탄두설계안이 작은 무력화거리를 갖는 이유는 파편 질량이 너무 작아 공기저항에 의한 큰 속도감소 때문이며, Case 1 탄두설계의 경우 파편질량이 커 큰 최대무력화거리를 갖지만 파편개수가 작아 유효무력화 거리는 작아짐을 알 수 있다.

따라서, 초소형 탄두의 경우 충분한 대인무력화효과를 갖기 위해서는 일정크기 이상의 파편질량과 파편개수를 가져야 하며 Table 2의 탄두설계 안 중 가장 큰 유효무력화거리를 갖는 최적 탄두설계안은 Case 3 탄두설계안이다.

그러나, 체계운용개념에 따라 유효무력화거리가 10 m 이상이며, 가능한 큰 최대무력화거리를 갖는 탄두효과 요구조건이 주어진다면 유효무력화거리 요구조건을 만족하는 설계안 중 가장 큰 최대무력화 거리를 갖는 Case 2 탄두설계안이 최적 설계안이 될 수 있다.

결론적으로 대인무기효과분석에 근거한 초소형 탄두 설계는 유효무력화거리 및 최대무력화거리 등의 체계운용 개념 및 요구조건에 따라 설계되어야 하며 특별한 체계요구조건이 없이 단순히 제한된 탄두무게 및 직경을 만족하는 초소형 탄두설계를 선택해야 한다면 Case 3를 선택하는 것이 유효무력화거리 측면에서 최적의 탄두설계안이라 판단된다. 이때 Case 3 탄두설계안의 파편질량은 2.1204 × 10^-4 kg (3.3 grain)이다