파편의 모양과 공기 항력 계수를 고려한 도비된 파편의 이동 거리 연구

1. 서론

탄약고와 건물이 폭파하면 무수히 많은 파편이 생성된다. 화약이 폭파하면서 발생하는 충격파는 파편을 건물 외부로 날아가게 만든다. 비산 후 지면에 떨어지는 파편은 여전히 큰 운동 에너지를 지니고 있다. 그러므로 지면과 충돌 후 멈추는 파편도 있지만 구르거나 다시 튀어오르기도 한다. 물체가 매질 또는 물체에 충돌한 뒤 다시 튀어오르는 현상을 도비(Ricochet)라고 한다. 도비된 파편은 높은 운동에너지로 인하여 파편의 이동 거리와 위험성을 모두 증가시킨다. 그러므로 파편의 도비 현상에 대한 정확한 이해는 파편의 이동 거리와 안전거리를 설정하는데 큰 도움이 된다.

도비 현상은 16, 17세기부터 이용되었다. 영국 함선의 해상 전투에서 포탄의 사정거리를 증가시키는데 사용되었다. 좀 더 현재와 가까운 시대에 사용된 때는 제2차 세계대전이다. 도비 현상을 이용하여 두터운 방어로 접근이 힘든 댐을 폭파한 기록이 있다.^1,2 이후 여러 매질에서의 도비 연구가 본격적으로 진행되었다. 물체의 도비 후 거동 예측과 임계 각도(Critical Angle)가 중점적으로 연구되었다. 물은 균질한 매질이기 때문에 도비 후의 거동 예측이 비교적 쉽지만 모래, 진흙 등 같이 비균질한 매질에서는 도비 후의 거동 예측이 어려울 뿐만 아니라 경향성도 판이하게 다르다.^3-6 건물 폭파로 인한 파편의 연구는 폭파 실험과 다양한 시뮬레이션들을 통해 연구되고 있다.⁷ 파편의 연구 중에서 도비 현상은 파편의 이동 거리를 연구하기 위한 중요한 부분이다. 파편의 도비는 파편의 초기 조건, 매질의 종류와 특징에 따라 다양하게 변화한다.^8-10 하지만 파편의 도비 연구 시 사용되는 수식은 도비에 영향을 주는 많은 요인들을 고려하지 못하고 있다. 그러므로 다양한 조건에서의 도비 연구를 통해 안전거리 또는 이동 거리의 오차를 줄일 수 있다.

본 연구에서는 매질이 모래일 때 파편의 다양한 모양과 크기에 따른 이동 거리를 연구하였다. 파편의 비행에는 파편의 모양과 속도에 따라 변화하는 레이놀즈 수에 따른 항력 계수를 적용하여 보다 정확한 파편의 비행 궤도를 계산하였다. 파편의 도비 연구에는 유한요소해석 프로그램인 ANSYS Explicit Dynamics를 사용하였다. 해석된 파편의 도비 후 속력, 각도를 3차원 곡면으로 MATLAB의 Curve Fitting Tool을 사용해 피팅하였다. 이 결과들과 파편의 모양에 따른 항력 계수를 고려한 비행 수식을 가지고 MATLAB으로 파편의 궤적과 이동 거리를 계산하였다.

2. 도비와 항력 계수에 따른 비행 궤적 수식

2.1 도비 수식

파편이 매질에 충돌하면 반발력(F_L)이 발생하는데 식(1)과 같이 나타낼 수 있다.^11,12

$\[ F_L=0.5C_L{\rho }_m{U}^2{S}_{c}f\left(\alpha ,\beta \right)\overrightarrow{n} \]$

(1)

여기서 C_L은 양력 계수, ρ_w는 매질의 밀도, U는 물체의 속력, S_c는 파편과 매질의 접촉 면적, f (α, β)는 반발력의 각도 의존성을 나타내는 무차원 함수이다. 여기서 α는 받음각(Attack Angle), β는 물체와 매질의 충돌각(Impact Angle)이다. Fig. 1은 파편이 매질에 충돌할 때의 과정을 나타낸 그림이다. ξ는 물체의 관입 깊이이다. 파편의 도비에 영향을 주는 가장 큰 요인은 매질 표면에 수직인 방향으로의 반발력이다. 식(2)는 물체의 z축 방향으로의 반발력을 나타낸 식이다. 식(2)를 간단히 표현하면 식(3)과 같이 표현할 수 있다. 식(3)은 식(4)와 식(5)로 나타낼 수 있다.^11,12

$\[ F_L^z=0.5C_L{\rho }_m{U}^2{S}_{c}f\left(\alpha +\beta \right)\cos \left(\alpha \right) \]$

(2)

$\[ F_L^z=F^{\left(0\right)}\left(\epsilon \right)-\zeta \left(\epsilon \right)V_z \]$

(3)

$\[ F^{\left(0\right)}\left(\epsilon \right)=0.5{\rho }_w{U}^2{S}_{wetted}\left(\epsilon \right)\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right) \]$

(4)

$\[ \zeta \left(\epsilon \right)=0.5{\rho }_w{U}^2{S}_{wetted}\left(\epsilon \right){\left(\cos \left(\alpha \right)\right)}^2 \]$

(5)

Fig. 1

Schematic view of the impact process of a projectile

식(4)는 반발력이고, 식(5)는 유효마찰계수의 역할을 한다. 즉, 파편이 도비가 되려면 매질과의 마찰로 인한 에너지 손실보다 z축 방향으로의 반발력이 더 크면 도비가 되는 것이다. 파편의 관입 깊이와 매질과의 접촉 면적은 반발력과 에너지 손실에 모두 영향을 주기 때문에 파편의 도비와 이동 거리 연구에서 매우 중요한 요소이다.

2.2 공기 항력에 따른 물체의 비행 궤적 수식

본 연구에서는 끊임없이 변화하는 파편의 레이놀즈 수에 따른 항력 계수를 고려하여 정확한 파편의 궤적 공식을 사용하였다. 항력(D), 레이놀즈 수(Re), 시간 상수(Time Constant)는 다음 식(6)부터 식(8)과 같이 표현할 수 있다.^13,14

$\[ D=0.5C_D{\rho }_a{AU}^2 \]$

(6)

$\[ \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{{\rho }_{a}Ud}{\mu } \]$

(7)

$\[ \tau =\frac{m}{3\pi d\mu } \]$

(8)

여기서 C_D는 항력 계수이고, ρ_a는 공기 밀도, A는 공기 흐름에 수직으로 투영되는 물체의 면적, U는 파편의 속도, d는 파편의 반지름, μ는 공기의 점도, m은 파편의 질량이다. 식(6)을 뉴턴의 제 2법칙에 적용하면 식(9)와 같이 레이놀즈 수와 시간 상수에 관련되게 가속도를 정의할 수 있다.

$\[ a=\frac{C_D\rho A{U}^2}{2m}=-\frac{C_D\mathrm{R}\mathrm{e}}{8}\frac{\pi d\mu }{m}U \]$

(9)

식(8)을 식(9)에 대입하면 x, z축에 대하여 물체의 가속도를 식(10)과 같이 구할 수 있다.

$\[ \frac{du}{dt}=-\frac{C_D\mathrm{R}\mathrm{e}}{24\tau }{U}_x,\frac{d{U}_z}{dt}=-\frac{C_D\mathrm{R}\mathrm{e}}{24\tau }{U}_z-g \]$

(10)

변형된 중앙차분법을 사용하면 레이놀즈 수와 항력 계수를 고려한 물체의 속도는 식 (11)과 식(12)와 같이 나타낼 수 있다.

$\[ U_x\left(t\right)=\frac{48\tau \left[U_x\left(t-\Delta t\right)\right]-C_D\mathrm{R}\mathrm{e}\Delta t\left[U_x\left(t-\Delta t\right)\right]}{48\tau +C_D\mathrm{R}\mathrm{e}\Delta t} \]$

(11)

$\[ U_x\left(t\right)=\frac{48\tau \left[U_x\left(t-\Delta t\right)\right]-C_D\mathrm{R}\mathrm{e}\Delta t\left[U_x\left(t-\Delta t\right)\right]-48\tau g\Delta t}{48\tau +C_D\mathrm{R}\mathrm{e}\Delta t} \]$

(12)

식(13)과 식(14)는 시간과 속도에 따라서 파편의 위치를 나타낸 식이다.

$\[ x\left(t\right)=x\left(t-\Delta t\right)+\frac{\Delta t}{2}\left[U_x\left(t-\Delta t\right)+U_x\left(t\right)\right] \]$

(13)

$\[ z\left(t\right)=z\left(t-\Delta t\right)+\frac{\Delta t}{2}\left[U_z\left(t-\Delta t\right)+U_z\left(t\right)\right] \]$

(14)

본 논문에서 구와 원통의 레이놀즈 수가 사용되었고, Fig. 2는 구와 원통의 레이놀즈 수에 따른 항력 계수를 나타내고 있다.

Fig. 2

Logarithmic plot of the sphere and cylinder drag coefficients as a function of Reynolds number

3. 도비 실험과 FEM을 통한 피팅

모양이 다른 콘크리트 파편의 도비 현상을 연구하기 위해 본 연구에서는 충돌 해석 전문 프로그램인 ANSYS Explicit Dynamics를 사용하였다. 해석의 신뢰성을 높이기 위해 저속에서의 도비 실험과 타 연구의 고속 도비 실험의 결과값을 해석과 비교하였다.

3.1 모래의 물성

해석에서 제일 중요한 요인 중 1가지는 실제 재료와 가장 비슷하게 물성을 구성하는 것이다. 많은 재료들이 주위 환경이나 재료의 특성에 따라 물성이 달라진다. 특히 모래는 입자 크기, 함수비, 온도, 결정체 구조 등에 따라 물성이 매우 광범위하게 변한다. 그러므로 본 연구에서는 모래의 물성을 허용 범위 안에서 임의로 결정한 다음 저속과 고속에서의 결과값과 비교하였을때 오차율이 작은 모래의 물성을 선택하였다.

본 해석에서 사용된 모래의 해석 모델은 모래, 흙, 암석에 주로 사용되는 Drucker-Prager 모델이다. 식(15)는 Drucker-Prager모델 수식이다.¹⁵

$\[ {\sigma }_Y={\sigma }_P+{\sigma }_{\rho }F \]$

(15)

여기서 σ_Y는 총 항복 응력(Total Yield Stress), σ_p는 압력 항복 응력(Pressure Yield Stress), σ_ρ는 밀도 항복 응력(Density Yield Stress)이다. 본 해석에서는 Drucker-Prager Strength 모델에서 파편의 도비에 영향을 주는 MO Granular Pressure Hardening, MO Granular Variable Shear Modulus, Compaction Path를 변경하여 해석을 진행하였다. 본 해석에서 사용된 3개의 물성치는 Fig. 3에 나타나있다. 본 해석에서는 모래를 유체인 오일러(Euler)로, 파편을 고체인 라그랑지(Lagrangian) 모델로 설정하는 Arbitrary Lagrangian-Eulerian 해석 방법을 이용하였다. 모래를 유체로 가정할 수 있는 이유는 모래는 작은 알갱이로 이루어져 마치 유체처럼 흐름이 있기 때문이다.

Fig. 3

Sand properties

3.2 저속 도비 실험과 도비 해석 비교

모래의 물성의 신뢰성을 높이기 위해 본 연구에서는 저속의 철구 도비 실험을 수행하였다. 에어 타카를 이용해 지름이 10 mm인 철구를 모래에 발사하였다. 에어 타카의 압력을 조절해 철구의 속도를 제어할 수 있고, 입사각 변환 장치를 통해 입사각을 변화하였다. Fig. 4는 모래에서의 철구 도비 실험 개략도이다. 철구의 입사각은 15, 20°이다. 철구의 초기 속도는 28, 32 m/s이다. 실험은 동일한 조건에서 3번 반복 실험하였다. 실험에 사용된 모래의 밀도는 1,500 kg/m³이다. 해석의 초기 조건은 실험과 동일하다. 모래의 물성과 해석 모델은 3.1절에 명시한대로 적용하였다. 모래의 크기는 1,000 × 300 × 300 mm(가로 × 세로 × 높이)이다. Table 1은 저속 도비 실험과 해석을 비교한 표이다. 오차율의 범위는 약 4-20%이고, 저각에서의 오차율이 좀 더 낮다. 이는 도비 해석에서 모래의 물성으로 적합할 것으로 판단된다.

Fig. 4

Experimental setup for ricochet onto sand

Table 1

Comparison of ricocheted speed of 10 mm steel sphere test and FEM

3.3 고속 도비 실험과 도비 해석 비교

실제 파편은 폭파 후 저속이 아닌 고속으로 건물 주위에 비산된다. 하지만 탄환 또는 어떤 물체를 고속으로 발사하는 것은 화약을 사용하는 총기류를 사용하지 않고서는 매우 어려운 일이다. 그러므로 본 연구에서는 타 연구의 고속 도비 실험을 참조하였다. 타 연구의 실험은 25 mm 구경 탄환의 고속 도비 실험이다. 실험에 쓰인 모래는 밀도 외에 다른 물성은 정확히 표기하지 않았다. 밀도는 1,670 kg/m³이다. 25 mm 탄환의 초기 조건은 입사각 12.5, 25°이고 초기 속도는 589 m/s이다.¹⁶ 해석의 초기 조건은 실험과 같다. 모래의 물성과 해석 모델은 3.1절에 명시한대로 적용하였다. Fig. 5는 25 mm 구경 탄환과 모래의 모델링 그림이다. Table 2는 고속 도비 실험과 해석의 결과를 비교한 표이다. 저속 실험에서의 결과값과 마찬가지로 저각에서는 오차율이 매우 낮으나 입사각이 증가하면서 오차율이 증가한다. 입사각이 12.5º일 때는 오차율이 1.81%에 불과하다. 그러므로 본 연구의 유한요소해석에서 사용되는 모래의 물성은 고속의 도비 해석에 적합하다고 판단된다.

Fig. 5

25 mm projectile and sand modelling

Table 2

Comparison of ricocheted speed of 25 mm projectile test and FEM

3.4 도비 해석과 피팅

선행 해석을 통해 모래의 물성을 확립한 다음 결과값들을 피팅하기 위해 다양한 초기 조건에서 도비 해석을 수행하였다. 파편의 재질은 건물의 주재료인 콘크리트이다. 파편의 모양은 구와 원통 모양을 선택하였다. 서로 지름과 높이가 동일하여 크기가 비슷할 때 파편의 모양에 따른 도비와 이동 거리를 비교하기 위해서다. Fig. 6은 구와 원통의 도비 해석 모델링을 나타낸 그림이다. 원통은 도비가 된 후 자세가 변하거나 회전을 하지만 본 연구에서는 Fig. 6과 같은 원통 자세를 계속 유지하여 비행하고 도비하는 것으로 가정하였다. 파편의 크기는 실제 건물 폭파 실험을 통해 얻은 결과를 통해 선정하였다. 건물 폭파 실험 후 파편은 크기와 무게의 분류를 통해 Table 3과 같이 분류된다.¹⁷ Ref. 17의 실험에 따르면 콘크리트 파편에서 가장 많은 분포를 차지하는 것은 Mass Bin 8, 9, 10이다. 전체 파편 중 81.98%를 차지한다. 그러므로 구 파편의 지름, 원통 파편의 지름과 높이는 20, 30, 40 mm로 선정하였다. 파편의 초기 속도는 10, 50, 100, 150 m/s가 선정되었다. 원통 파편의 초기 입사 각도는 1, 10, 20, 30, 40, 50, 60°이고, 구 파편의 초기 입사 각도는 1, 10, 20, 30, 40°이다. 매질은 모래이다. 모래의 물성은 저속, 고속 해석에서의 모래 물성과 동일하다. 콘크리트의 밀도는 2,440 kg/m³, 전단 탄성률은 7.88 × 10⁹ Pa이다. 해석된 결과값을 통해 동일한 크기의 파편과 매질에 관하여 입사 속력, 각도에 따른 도비 후 속력, 각도를 예측하기 위해 MATLAB의 Curve Fitting Tool을 이용하여 3차원 곡면으로 피팅하였다. Figs. 7과 8은 매질이 모래일 때 구와 원통 파편의 다양한 입사 속력과 각도에 따른 도비 후의 속력과 각도를 3차원 곡면으로 피팅한 그림이다.

Fig. 6

Sphere, cylinder and sand modelling

Table 3

Concrete mass bin characteristics

Fig. 7

3D surface plot of 40 mm concrete sphere onto sand

Fig. 8

3D surface plot of 40 mm concrete cylinder onto sand

4. 파편의 이동 거리

4.2 두 파편의 이동 거리 비교

본 연구에서는 도비되는 콘크리트 구 파편과 콘크리트 원통 파편의 이동 거리를 비교하였다. Fig. 9는 20 mm 지름과 높이의 콘크리트 구, 원통이 모래에서 도비될 때의 이동 거리를 나타낸 그림이다. Fig. 10은 30 mm 지름과 높이의 콘크리트 구, 원통이 모래에서 도비될 때의 이동 거리를 나타낸 그림이다. Fig. 11은 40 mm 지름과 높이의 콘크리트 구, 원통이 모래에서 도비될 때의 이동 거리를 나타낸 그림이다. 발사각이 1°이고, 지름이 20, 30 mm인 구 파편일 때를 제외하고는 모든 경우에서 구 파편의 이동 거리가 원통 파편의 이동 거리보다 더 길다. 발사각이 증가하면서 두 파편의 이동 거리 차이도 증가한다. 최대 이동 거리는 40 mm 구 파편과 발사각이 10°일 때 338.15 m이다. 최소 이동 거리는 20 mm 구 파편과 발사각이 1°일 때 118.38 m이다.

Fig. 9

Moving distance of 20 mm concrete sphere and cylinder onto sand

Fig. 10

Moving distance of 30 mm concrete sphere and cylinder onto sand

Fig. 11

Moving distance of 40 mm concrete sphere and cylinder onto sand

5. 고찰

본 논문에서는 모양이 다른 콘크리트 파편이 폭파 후 모래에서 도비될 때 이동 거리를 연구하였다. 두 파편의 모양에 따라 다른 항력 계수를 적용하였다. 결과들을 살펴보면 거의 모든 조건에서 구 파편이 원통 파편보다 더 멀리 이동하였다. 이는 2가지 요인이 파편의 비행과 도비에 영향을 주기 때문이다.

첫번째로 파편의 모양에 따른 항력 계수가 다르기 때문이다. 동일한 모양과 재료의 파편에서는 파편이 무거울수록 더 멀리 날아간다. 무게가 증가할수록 운동에너지가 증가하기 때문이다. 하지만 파편의 모양이 다르면 파편에 작용하는 항력 계수가 다르기 때문에 파편의 비행 궤도와 이동 거리에 영향을 준다. Fig. 12는 지름과 원통의 높이가 40 mm인 두 파편의 비행 궤도를 나타낸 그림이다. 원통의 무게가 더 크므로 운동에너지가 큼에도 불구하고 항력 계수가 크기 때문에 첫 비행에서 구보다 멀리 날아가지 못한다. 이는 파편의 운동에너지 손실과 연결되어 도비가 된 후의 비행에서도 큰 항력 계수와 더욱 줄어든 반발력으로 인하여 멀리 날아가지 못한다.

Fig. 12

Flight path of 40 mm concrete sphere and cylinder onto sand

두 번째는 도비가 발생할 때 파편과 매질의 접촉 면적과 관계가 있기 때문이다. 매질과의 접촉 면적이 증가하면 지면에 수직 방향으로의 반발력도 증가하게 된다. 원통은 구보다 겉넓이가 더 넓기 때문에 도비 시 모래와의 접촉 면적도 더 크다. 큰 반발력은 도비 후의 반사 각도도 더욱 증가하게 만든다. 큰 반사각은 파편의 이동 거리를 저하시키는 요인이다. 또한 접촉 면적이 증가하면 매질과의 마찰이 증가하여 운동에너지 손실로 연결된다. Fig. 12를 보면 큰 반사각과 운동에너지 손실로 인해 동일한 도비 회차의 비행에서 이동 거리가 크게 나는 것을 확인할 수 있다.

마지막으로 본 연구의 결과와 실제 폭파 실험의 결과를 비교해 보면 파편의 이동 거리는 실험 범위 안에 모두 포함된다. 실제 파편의 분포도를 보면 수평 거리 기준으로 대부분의 파편이 100-400 m에 위치한다. 파편의 최고 이동 거리의 약 572 m이지만 주변에 다른 파편들은 거의 존재하지 않는다.¹⁷ 보고서에는 파편의 모양, 크기에 따른 파편의 이동 거리, 지면의 매질 종류에 대해서는 명확하게 명시하지 않았기 때문에 본 연구와 정확한 비교는 어렵다. 하지만 본 연구의 결과값들은 실험 범위 안에 위치하므로 신뢰할 수 있다고 판단된다.

6. 결론

본 논문에서는 매질이 모래일 때 모양이 다른 두 콘크리트 파편의 이동 거리를 연구하였다. 이 연구의 결론은 다음과 같다.

(1) 폭파 후 도비되는 파편의 이동 거리에 영향을 주는 요인은 파편의 모양에 따라 다른 항력 계수이다. 파편의 모양에 따라 크기와 질량의 증가로 인하여 운동에너지가 증가하여도 비행할 때 항력 계수가 더 크다면 파편은 더 멀리 날아가지 못한다. 이는 운동에너지 손실과도 연결된다. 그러므로 원통 파편은 구 파편보다 더욱 멀리 이동하지 못한다.

(2) 파편의 도비는 매질과 충돌할 때 접촉 면적에 영향을 받는다. 접촉 면적이 증가하면 반발력과 운동에너지 손실이 증가한다. 이는 모두 파편의 도비 후 진행을 저하시키는 요인들이다. 원통은 구보다 모래와의 접촉 면적이 크기 때문에 큰 반발력으로 인하여 도비 후의 반사각이 크고, 운동에너지 손실이 더욱 많으므로 구 파편보다 더욱 멀리 이동하지 못한다.

이 연구의 결과들은 건물 폭발 시 파편의 모양에 따른 도비 후의 거동과 안전거리를 연구하는데 유용하다.

Acknowledgments

본 연구는 국방과학연구소의 순수기초과제(No. UD170027GD)인 “매질에 따른 건물 파편의 도비 현상 연구” 지원으로 수행되었음.

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