온도에 따른 시선 안정화 시스템의 마찰 변수 추정

2.1 플랜트 모델

시선 안정화 시스템은 Fig. 1과 같이 각각 선회 방향 및 고저 방향으로 직류 전동기에 의해 구동되는 2축 안정화 짐벌구조로써, 리졸버(Resolver)와 자이로(Gyro) 센서를 포함하고 있어 위치 및 속도 신호 제어가 가능하다. 각 구동 축에 대한 평형 방정식은 식(1)과 같이 유도된다.

Fig. 1

Configuration of the LOS stabilization system

Fig. 2

Example of the PI-LEAD control algorithm

일반적인 시선 안정화 시스템은 선회 방향의 짐벌이 고저 방향의 짐벌을 포함하므로, 본 논문에서는 선회 방향 짐벌의 마찰에 대한 부분만이 고려되었으며, 실제 시스템의 선회 방향 관성 모멘트는 0.342 kg·m²이다.

Fig. 3

Concept of the LuGre friction model

2.2 제어기 모델

시선 안정화 시스템의 제어기는 저역통과 필터(Low Pass Filter) - PI 제어기 - 진상 보상기(Lead Compensator)로 구성하였다. PI-LEAD 알고리즘은 전통적인 PID 제어방식에 고주파 잡음에 의한 발산 현상을 제거하고, 진상 보상기를 통해 시간 지연 현상을 보상하여 시스템의 강인성 및 안정성을 높여준다.¹

2.3 마찰 모델

정지된 두 물체의 접촉 표면은 미시적인 관점에서 매우 거친 상태로 서로 결합되어 있다고 볼 수 있다. LuGre 마찰 모델은 접촉면의 특성을 강모(Bristle)의 굽힘에 의한 강성과 댐핑으로 표현하였다.

강모들의 평균 굽힘 변위를 의미하는 상태변수(z)와 전체 마찰 토크(T_f)를 나타내는 식은 아래와 같다.

g(w)는 스트라이벡 효과를 나타내며, 시스템의 속도가 일정한 상태에서 내부 상태 변수(z_ss)와 마찰 토크(T_fss)는 각각 다음과 같이 수렴하게 된다.

스틱션(Stiction) 구간의 상태변수는 식(7)처럼 근사화 가능하며, 이 때, 시스템의 평형 방정식 식(1)은 식(8)과 같이 선형화 할 수 있다.

3.1 정적 마찰 변수

정상상태에서의 마찰 토크는 식(6)처럼 정적 마찰 변수(f_s, f_c, ω_s, σ₂)와 속도의 함수로써 속도와 마찰 토크의 상관 관계 분석을 통해 마찰 변수 추정이 가능하다. 또한, 일정 속도에서의 입력 토크는 식(1)의 u = T_f 처럼, 직류 전동기로부터의 전달 토크는 식(9)처럼 나타낼 수 있다.

k_m은 직류전동기의 특성에 따라 결정되는 상수이며, 직류 전동기의 입력 전압(V)에 대한 시스템의 속도 측정 시험 정보 기반으로 식(6)를 근사화하여 마찰 변수 f_c, f_s, ω_s, σ₂ 추정이 가능하다.

3.2 동적 마찰 변수

선-미끄러짐(Pre-Sliding) 영역, 즉 입력 토크가 정지 마찰보다 작은 구간(u ≤ f_s, ω ≈ 0)에서 마찰 토크는 식(4)에 의해 동적 마찰 변수 σ₀, σ₁과 내부 상태 변수 z의 함수로 나타낼 수 있다. 내부 상태 변수는 측정이 어렵기 때문에 마찰 변수 추정을 위한 다음 가정이 필요하다.

(1) 모터의 입력 토크를 시간에 비례하여 증가시킨다면 $$ \dot{\omega }\approx \dot{z}\approx 0$$로 근사화할 수 있다.

(2) 선-미끄러짐(Pre-Sliding) 영역에서 변위-마찰 히스테리시스 루프 면적은 선-미끄러짐 거리 제곱에 따라 선형 비례하며, 정규화된 변위 ξ∈[0, 1]와 토크 h∈[0, 1]의 식은 식(10)과 같다.^11,12

k_c는 시간에 따른 입력 토크의 비례 상수이며, 가정 1에 의해 식(1)과 식(3)은 다음과 같이 정리할 수 있다.

식(11)과 식(12)를 식(2)에 대입하여 식(13)을 구할 수 있다.

ω ≈ +0일 때, 식(13)을 적분하면 다음과 같다.

입력 토크 u = f_s가 되는 순간의 시간은 f_s/k_c이며, 각도 변위를 θ_s라고 하면, 가정 2에 의해 식(10)을 아래처럼 나타낼 수 있다.

식(15)의 양변을 시간에 관해 미분하면 식(16)과 같다.

식(16)을 식(14)에 대입하여 시간 t = f_s/k_c일 때, 상태 변수를 z_s라고 하면, 식(17)을 얻을 수 있다.

따라서, u = f_s이 되었을 때, 식(17)의 결과를 식(11)에 대입하면 식(18)을 얻을 수 있다.

입력 토크 u ≅ 0 일 때, 시스템의 선형화된 평형 방정식(8)에서 σ₁ + σ₂는 스프링-댐퍼 시스템의 댐핑 계수와 같으며, σ₁은 다음과 같이 구할 수 있다.

ζ는 스프링-댐퍼 시스템의 감쇠비(Damping Ratio)이며, 상기식에서 σ₁을 바로 추정하기 어렵다. 따라서, 시선 안정화 시스템의 동적 안정화 시험 결과와 시뮬레이션 결과의 비교를 통해 σ₁값을 추정하는 방안을 다음 절에서 제시하고자 한다.

4.1 마찰 변수 추정

제안된 마찰 변수 추정 검증을 위한 시스템을 Fig. 4와 같이 구성하였다.

Fig. 4

Schematic diagram for friction parameter estimation

정적 마찰 변수 추정을 위해 시스템의 구동 시작 순간의 정지 마찰 토크를 산출하였다. 스틱션(Stiction) 구간에서는 시스템의 속도가 불안정하므로 전압이 높은 구간에서 서서히 전압을 감소시키는 방법으로 점성 마찰 구간과 쿨롱 마찰 구간의 데이터를 획득하였다. Fig. 5는 식(6)에 측정된 데이터를 입력하여 보간 결과를 보여준다.

Fig. 5

Velocity-friction curve of the system

온도에 따른 마찰 특성을 추정하기 위해, 온도 챔버 내에 시스템을 설치한 후 챔버 온도가 -30^oC와 +45^oC인 조건에서 각각 동일한 마찰 측정 시험을 수행하였다. Fig. 6과 같이 마찰 토크는 외부 온도가 내려갈수록 높아지는 경향을 보였으며, 각각의 마찰 변수가 정지 마찰 변수에 대해 일정한 비율을 유지하면서 변화하는 특성을 보였다. 하지만, 마찰 변수의 불확실성이 온도 변화량에 비례하는 것은 아니며, 상대적으로 저온 영역에서 고온 영역에 비해 변동성이 크게 나타나는 것이 확인되었다. 정적 마찰 변수의 변동성은 상온을 기준으로 -30^oC에서는 약 28.7-40%이고, 45^oC에서는 3.7-6.7% 수준으로 나타났다.

Fig. 6

Velocity-friction curve according to temperature

식(18)을 이용하여 동적 마찰 변수인 σ₀를 추정하기 위해 직류전동기 입력 전압을 0에서부터 초당 0.05 V씩 서서히 증가시켜 정지 마찰 토크에 도달하는 순간의 회전 변위를 측정하는 시험을 수행하였다. 시험 오차를 줄이기 위해 회전변위는 시스템 위치를 10°간격으로 변경하면서 총 36회의 반복 평균 값을 사용하였으며, 온도에 따른 변동성을 확인하기 위해 –30^oC 및 45^oC의 온도 조건에서 반복 시험하였다. 시험 결과인 σ₀ 값은 Table 1과 같다.

Table 1

Estimated data of the parameter, σ0

Fig. 7

Dynamic stability test of the system

Fig. 8

Result of the dynamic stability test and simulation

σ₁ 값을 추정하기 위해 시스템의 동적 안정화 시험 결과를 활용한다. 동적 안정화 시험이란 외란이 인가되었을 때 LOS 각도의 오차를 산출하여 시선 안정화 시스템의 안정화 성능을 평가하는 것이다. 일반적인 지상 플랫폼을 가진 시스템에서 동적 안정화 시험 규격은 회전축 방향으로 83 il/sec RMS 이상의 각속도 외란을 인가하였을 때, LOS 각도 오차를 100 μrad RMS이하로 규정하며, 외란의 입력 함수는 다음과 같이 정의한다.

동적 마찰 변수는 속도의 방향이 전환되거나, 변하는 구간에서의 마찰 거동과 밀접한 관련이 있다. 따라서 동적 안정화 시험은 랜덤한 각속도 외란 인가를 통해 시스템의 속도 전환을 수시로하여 응답특성을 확인하는 시험이다. 이 때, 입력되는 외란이 랜덤함수의 형태이기 때문에, 시험 결과와 해석 결과의 절대적인 비교 대신 시선 오차의 RMS 값을 비교하여 마찰 변수를 추정하였다. 실제 시스템의 시험결과에서 LOS 오차는 62 μrad RMS이며, 해석 모델의 시뮬레이션 결과가 동일한 LOS 오차 RMS 값을 가지도록 σ₁ 값을 조정하며 해석을 반복하였다.

해석을 통해 추정된 최종 값은 σ₁ = 192.5 Nm/(rad/s)이며, 식(19)에 의해 ζ = 0.6임을 알 수 있다. 온도에 따른 안정화 성능 시험 데이터가 없기 때문에 σ₁의 변동성은 저온 및 고온 구간에서 추정된 마찰 변수 값을 식(19)에 입력하여 계산하였다. 이와 같이 시험 및 시뮬레이션을 통해 전체 마찰 변수를 추정할 수 있으며, 그 결과는 Table 2와 같다.

Table 2

Estimated friction parameters according to temperature

4.2 안정화 성능 예측

시선 안정화 시스템의 안정화 성능 시험은 시험기가 설치된 장소에서만 수행할 수 있는 공간적 제약 때문에 온도에 따른 영향성을 파악하기 어렵다. 하지만, 온도에 따라 추정된 마찰 변수를 이용한 모의실험을 통해 시스템의 안정화 성능에 따른 온도변화가 예측 가능하다. Table 2에서 -30^oC와 45^oC에서 추정된 마찰 변수를 통해 안정화 성능 해석을 수행한 결과는 Fig. 9와 같다.

Fig. 9

Result of the dynamic stability simulation according to temperature

마찰이 커지는 저온의 환경에서 LOS 오차가 상온의 결과값을 기준으로 22.5 μrad RMS정도 증가하였지만, 100 μrad RMS 이하의 요구성능을 충족하는 수준으로 나타나, PI-LEAD 제어기가 온도에 의한 마찰 토크 변화에도 안정화 성능에 있어 강인성이 확보되어 있음을 알 수 있다.

하지만, 시스템의 마찰 특성 변화는 온도변화 이외의 요인으로 추가적으로 발생할 수 있으며, 마찰 변수 추정 과정에서의 발생하는 오차까지 고려한다면, 실제 LOS 오차는 더욱 증가할 수 있다. 따라서, 추정된 마찰 변수 데이터를 기준으로 각 변수값을 일정 비율로 증가시켰을 때, 안정화 성능 해석 결과를 분석하여, 요구 성능에 대한 여유 마진을 확인하였다.

Fig. 10은 -30^oC에서 추정된 마찰 변수 데이터를 초기값으로 설정하고, 각 변수 값을 1%씩 증가시켰을 때, LOS 오차가 변화하는 추이를 보여준다. 마찰 변수 값의 증가에 따라 LOS 오차가 거의 선형적으로 증가하는 것을 확인할 수 있었으며, -30^oC에서 추정된 마찰 변수 값보다 12% 이상인 경우 시스템의 LOS 오차가 100 μrad RMS 를 초과하였다. 따라서, 추정된 마찰 변수의 변동성을 기준으로 시스템의 안정화 성능에 대해 마찰은 약 11%의 여유 마진을 가지고 있는 것으로 볼 수 있다.

Fig. 10

Analysis of the LOS error with increasing friction parameters