하이브리드 이동 로봇의 다리 보행과 스케이트 주행을 위한 역기구학의 해석

2.1 보행, 주행에 대한 역기구학 문제의 분류

Fig. 3은 개발 중인 로봇으로 몸통과 2족 12자유도의 구성인데, Fig. 1과 같이 스케이트 주행만이 가능한 2족 10자유도의 스케이트 로봇[15]과 달리 다리 보행과 스케이트 주행이 동일한 시스템에서 가능하기 때문에 진정한 의미의 하이브리드 이동 로봇이라고 할 수 있다. 여기서는 역기구학 문제를 다루므로 3장에 기하학적인 정보만을 언급하겠다.

Fig. 3

Hybrid mobile robot (HymBot)

모든 좌표계는 일반적으로 원점과 좌표축으로 구성되는데, 평탄 수평면의 기준 및 고정 좌표계는 0 – XYZ 좌표계이고, 수평 지면이 XYZ축 방향의 병진 및 회전으로 일정한 경사 지면이 된다. 로봇의 기준 및 고정 좌표계는 0 – xyz 좌표계인데, 평탄 수평면의 0 – XYZ 좌표계와 서로 같다. 여기서 몸통, 다리의 좌표축은 xyz와 같이 소문자로 표시하고, 경사면, 발바닥, 스케이트 날의 좌표축은 XYZ와 같이 대문자로 표시한다. Fig. 4와 같이 로봇은 경사면 위에서 다리 보행 또는 스케이트 주행에 의해서 직진 또는 선회로 이동한다. 2족 로봇의 입장에서 오른 다리가 제1 다리, 왼 다리가 제2 다리이다.

Fig. 4

Robot and inclined plane

보행과 주행의 역기구학에 필요한 동차 변환 행렬을 Table 1에 정리했는데, 예를 들면 오른 발바닥의 Ψ₁은 0 – XYZ 고정 좌표계에서 병진과 XYXYZ^-X⁺ Euler Angles인 λ_X, λ_Y, γ_X, γ_Y, β_Z, β_X 의 회전으로 $$ 0_1^{"}-X_1^{"}{Y}_1^{"}{Z}_1^{"}$$ 이동 좌표계가 되는 것을 의미하고, 오른 스케이트의 Ψ₁은 고정 좌표계에서 병진과 XYXYZ^-Y^- Euler Angles인 λ_X, λ_Y, γ_X, γ_Y, β_Z, β_Y 의 회전으로 $$ 0_1^{"}-X_1^{"}{Y}_1^{"}{Z}_1^{"}$$이동 좌표계가 되는 것을 의미한다. 여기서 Z^- Euler Angle인 β_Z는 -Z축 중심의 회전각이고, 생략된 상첨자의 부호는 +이고, i = 1, 2이다. 우좌(右左) 발바닥의 자세는 XYXYZ^-X^± Euler Angles로 나타낼 수 있는데, 이것은 경사면의 XYXY 기울기인 Euler Angles에 발바닥의 회전인 Z^-X^± Euler Angles을 추가한 형태로서 경사면 위의 자유로운 발바닥의 운동을 나타낸다. 특히 γ_Y는 보행과 주행의 좌우 다리에서 $$ X_1^{"}$$축과 $$ X_2^{"}$$축이 서로 대칭적인 바깥쪽을 가리키도록 추가한 회전각인데, 오른 다리에서 γ_Y = 0°, 왼 다리에서 γ_Y = 180°이다. Table 1에 포함된 부호의 구분으로 좌우 발바닥에서 회전각은 서로 대칭이 되는데, β_Z는 바깥으로 돌리는 것이 양이고, β_X는 앞으로 드는 것이 양이 된다. 그리고 우좌(右左) 스케이트의 자세는 XYXYZ^-Y⁺ Euler Angles로 나타낼 수 있는데, 이것은 경사면의 기울기인 XYXY Euler Angles에 스케이트 날의 회전인 Z^-Y^± Euler Angles을 추가한 형태로서 경사면 위의 자유로운 스케이트 날의 운동을 나타낸다. Table 1에 포함된 부호의 구분으로 좌우 스케이트에서 회전각은 서로 대칭이 되는데, β_Z는 바깥으로 돌리는 것이 양이고, β_Y는 바깥으로 드는 것이 양이 된다. 따라서 경사면 위의 발바닥과 스케이트의 자유로운 운동을 나타내기 위해서 경사면을 기준으로 하는 좌표 변환을 적극적으로 사용했다.

Table 1

Homogeneous transformation matrix of inverse kinematics for legged walking and skated driving

그리고 Fig. 5와 같이 인라인 스케이트 휠의 끝부분이 종단면으로 원호의 형상이다. End-effector의 교체 중에 스케이트 날과 지면의 접촉 조건이 미끄럼이 없는 Pure Rolling이라고 하면, 접촉 상태는 수직인 선 접촉 또는 경사인 선 접촉으로 서로 변하기 때문에 End-effector의 위치인 E와 접촉점의 위치인 C가 바뀌게 된다. 실제로 스케이트 날의 마찰력에는 방향성이 있어서 날 방향의 마찰력이 그 수직 방향의 값보다 대단히 작기 때문에 옆으로 미끄러지지 않는 논홀로노믹(Nonholonomic) 구속이 작용한다. 그리고 많은 4족 보행 로봇[17,18]의 발끝이 마찰력 증가를 위해서 고무 재질의 원기둥 또는 구 형상이므로 Fig. 5와 유사한 상황이 발생하지만, 발목의 자세를 고려하지 않아도 되므로 충분히 회피할 수 있다.

Fig. 5

Contact of blade and plane

경사 지면에서 보행을 위한 발바닥과 주행을 위한 스케이트날의 교체를 고찰하는데, Fig. 2와 같이 스케이트 날은 발바닥 안에 수납되어 있다. Fig. 6과 같이 발목의 관절각을 θ₆ 이라고 하면, Fig. 2와 같이 보행에서 주행으로 교체하는 경우에는 미지의 θ₆과 기지의 β_X = 0°으로 발바닥과 지면이 수직의 면 접촉인 상태, 미지의 θ₆과 기지의 β_Y = 0°으로 스케이트와 지면이 수직의 선 접촉인 상태, 기지의 θ₆ = 0°과 미지의 β_Y ≠ 0°으로 스케이트와 지면이 경사의 선 접촉인 상태의 순서로 바뀐다. 특히 기지의 β_Y = β_Ya = 0°에서 꺾인 발목을 얼마나 돌려야 미지의 β_Y = β_Yb에서 θ₆ = 0°인 곧게 뻗은 발목이 되는가를 해석하는 것이 핵심이다. 그리고 주행에서 보행으로 교체하는 경우에는 기지의 θ₆ = 0°과 미지의 β_Y ≠ 0°으로 스케이트와 지면이 경사의 선 접촉인 상태, 미지의 θ₆과 기지의β_Y = 0°으로 스케이트와 지면이 수직의 선 접촉인 상태, 미지의 θ₆과 기지의 β_X = 0°으로 발바닥과 지면이 수직의 면 접촉인 상태의 순서로 바뀐다. 특히 기지의 β_Y = β_Ya에서 θ₆ = 0°인 곧게 뻗은 발목을 얼마나 돌려야 기지의 β_Y = β_Yb = 0°에서 꺾인 발목이 되는가를 해석하는 것이 핵심이다. 여기서 스케이트와 지면이 경사의 선 접촉인 상태는 발목의 불편한 꺾임을 막으면서 부담을 더는 안락한 주행을 위한 것으로 현실적인 선택이다. 따라서 일반적인 이동, 말단(End-effector)의 교체 등을 포함해서 보행과 주행의 역기구학을 분류하면 크게 다음과 같이 3종류의 문제로 정리할 수 있다.

• ● 기지의 말단 위치, 기지의 말단 자세에 대한 보행과 주행의 역기구학
• ● 기지의 말단 위치, 미지의 말단 자세에 대한 주행의 역기구학
• ● 미지의 말단 위치, 미지의 말단 자세에 대한 주행의 역기구학

Fig. 6

Coordinate systems of robot

각각의 문제에 대해서 구체적으로 설명하고, 역기구학을 해석하기로 한다. 아울러 해석 과정은 계산의 연속적인 순서가 매우 중요하므로, 대표적인 저술[19]과 같이 순차적으로 나열하고자 한다.

2.2 기지 말단 위치, 기지 말단 자세의 보행, 주행에 대한 역기구학의 해석

Fig. 3의 로봇에 대한 좌표계는 Fig. 6과 같은데, 0 – xyz 좌표계는 기준 및 고정 좌표계, G – x_Gy_Gz_G 좌표계는 몸통의 무게 중심인 G에 고정한 이동 좌표계, $$ 0_{i-1}^{\text{'}}-x_{i-1}^{\text{'}}{y}_{i-1}^{\text{'}}{z}_{i-1}^{\text{'}}$$ 좌표계는 다리의 제i 관절에 고정한 이동 좌표계, $$ 0_6^{\text{'}}-x_6^{\text{'}}{y}_6^{\text{'}}{z}_6^{\text{'}}$$ 좌표계는 다리의 End-effector에 고정한 이동 좌표계 등이고, i = 1, 2, … , 6이다. 몸통의 자세는 xyz Fixed Angles로 나타낼 수 있는데, θ_x, θ_y, θ_z는 각각 xyz축 중심의 회전각을 의미한다. θ_z = 0°인 경우에 로봇의 입장에서 오른쪽이 +x축, 앞쪽이 +y축, 위쪽이 +z축이다. 특히 간단한 수식을 위해서 θ_x = 0°, θ_y = 0°으로 놓지만,θ_x ≠ 0°, θ_y ≠ 0°인 경우도 용이하게 계산할 수 있다. 다리는 2족 12자유도의 구성으로 각 다리에는 6개의 회전 관절이 있고, 관절의 배치는 다른 휴머노이드 로봇[6]과 같이 JR_z – JR_y – JR_x – JR_x – JR_x – JR_y이다. 여기서 JR_x, JR_y, JR_z는 각각 $$ x_{i-1}^{\text{'}}$$축, $$ y_{i-1}^{\text{'}}$$축, $$ z_{i-1}^{\text{'}}$$축 중심의 회전 관절을 의미한다. 좌우 다리에서 관절각은 서로 대칭이 되도록 정했는데, 똑바로 선 자세에서 JR_x는 앞으로 드는 것이 양이고, JR_y는 바깥으로 드는 것이 양이고, JR_z는 바깥으로 돌리는 것이 양이다. 사람의 다리와 비교하면 제1, 2, 3 관절은 고관절에, 제4 관절은 무릎에, 제5, 6관절은 발목에 각각 해당한다. 그리고 제i 관절의 회전각은 θ_i, 제i 링크의 길이는 l_i이다. 각 관절의 실질적인 가동 범위는 θ₁ = ±90°, θ₂ = ±90°, θ₃ = ±90°, θ₄ = ±150°, θ₅ = ±90°, θ₆ = ±90°이고, 간단한 표기를 위해서 C ≡ cos, S ≡ sin, T ≡ tan 등이다. 특히 가장 일반적인 경우인 의 범위를 이론적으로 고민하기보다는 ±90°에는 arctan 함수를, ±180°에는 arctan2 함수를 구분해서 사용하기로 하는데, 다리의 가동 범위는 팔보다 좁으므로 큰 무리가 없다고 판단된다. 따라서 Fig. 6과 같이 몸통을 포함한 오른 다리의 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

여기서 , $$ {\mathit{b}}_0^{\mathit{G}}={\left(b_{0_x}^G,b_{0_y}^G,b_{0_z}^G\right)}^T,{\mathit{b}}_G^{0^{\text{'}}}={\left(b_{G_x}^{0^{\text{'}}},b_{G_y}^{0^{\text{'}}},b_{G_z}^{0^{\text{'}}}\right)}^T$$은 좌표계 원점 사이의 상대 위치이다. 그리고 기준 및 고정 좌표계에 의한 End-effector의 위치와 자세는 다음과 같은 동차 변환 행렬로 사전에 주어진다.

여기서 $$ {\mathit{b}}_0^{6^{\text{'}}}=\left(b_{0_x}^{6^{\text{'}}},b_{0_y}^{6^{\text{'}}},b_{0_z}^{6^{\text{'}}}\right)$$은 좌표계 원점 사이의 상대 위치이고, $$ {\mathit{i}}_0^{6^{\text{'}}}={\left(R_{11},R_{21},R_{31}\right)}^T,{\mathit{j}}_0^{6^{\text{'}}}={\left(R_{12},R_{22},R_{32}\right)}^T, {\mathit{k}}_0^{6^{\text{'}}}={\left(R_{13},R_{23},R_{33}\right)}^T$$은 End-effector의 자세를 나타낸다. 특히 End-effector의 자세는 Table 1의 Ψ₁로 주어지는데, 오른 발바닥과 오른 스케이트 날에서 $$ X_1^{"}{Y}_1^{"}{Z}_1^{"}$$축 방향의 단위 벡터를 각각 $$ {\mathit{u}}_{{\mathit{X}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}},{\mathit{u}}_{{\mathit{Y}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}},{\mathit{u}}_{{\mathit{Z}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}}$$이라고 하면, Fig. 6에서 $$ {\mathit{i}}_0^{6^{\mathit{\text{'}}}}=+{\mathit{u}}_{{\mathit{X}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}},{\mathit{j}}_0^{6^{\mathit{\text{'}}}}=-{\mathit{u}}_{{\mathit{Y}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}},{\mathit{k}}_0^{6^{\mathit{\text{'}}}}=-{\mathit{u}}_{{\mathit{Z}}_1^{\mathit{\text{'}}\mathit{\text{'}}}}$$인 것에 유의하자. 따라서 Ψ_ij를 Ψ₁의 (i, j) 성분이라고 하면, T와 Ψ₁의 자세 행렬은 다음과 같게 된다.

식(1), 식(2)에서 몸통을 포함한 오른 다리의 동차 변환 행렬과 End-effector의 동차 변환 행렬은 다음과 같이 동일한 것이다.

이 문제는 주어진 T = Ψ₁에서 미지의 θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, θ₅, θ₆을 구하는 것이 되고, 미지수는 6개이다. 먼저 θ₁, θ₂, θ₆을 구하기 위해서 식(4)에서 다음을 계산한다.

θ₁, θ₂를 구하기 위해서, 식(5)의 (1, 2) 성분을 정리하면 다음과 같다.

여기서 $$ P_1=R_{12}{C}_{{\theta }_z}+R_{22}{S}_{{\theta }_z},P_2=-R_{22}{C}_{{\theta }_z}+R_{12}{S}_{{\theta }_z},P_3=R_{32}$$이다. θ₁, θ₂를 구하기 위해서, 식(5)의 (1, 3) 성분을 (1, 4)성분에 대입해서 정리하면 다음과 같다.

여기서 $$ P_4=\left(b_{0_x}^{6^{\text{'}}}-b_{0_x}^G-l_6{R}_{13}\right)C_{{\theta }_z}+\left(b_{0_y}^{6^{\text{'}}}-b_{0_y}^G-l_6{R}_{23}\right)S_{{\theta }_z}-b_{G_x}^{0^{\text{'}}},P_5=-\left(b_{0_y}^{6^{\text{'}}}-b_{0_y}^G-l_6{R}_{23}\right)C_{{\theta }_z}+\left(b_{0_x}^{6^{\text{'}}}-b_{0_x}^G-l_6{R}_{13}\right)S_{{\theta }_z}+b_{G_y}^{0^{\text{'}}},P_6=b_{0_z}^{6^{\text{'}}}-b_{0_z}^G-l_6{R}_{33}-b_{G_z}^{0^{\text{'}}}+l_1$$이다. 식(6), 식(7)에서 각각 T_θ2를 구한 다음에 T_θ2 = T_θ2를 정리하면 다음과 같다.

가동 범위가 θ₁ = ±90°이므로, 식(8)에서 θ₁은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 분자인 P₁P₆ – P₃P₄와 분모인 P₂P₆ – P₃P₅가 $$ \frac{0}{0}$$이 아니어야 한다. 가동 범위가 θ₂이므로, 식(7)에서 θ₂는 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 분자인 P₄C_θ1 + P₅S_θ1와 분모인 P₆가 $$ \frac{0}{0}$$이 아니어야 한다. 특히 2.3.2항에서 언급하는 것과 같이 End-effector의 위치 정보를 포함한 P₄, P₅, P₆을 반드시 사용해야 한다. 그리고 θ₆을 구하기 위해서, 식(5)의 (1, 1) 성분과 (1, 3) 성분을 정리하면 다음과 같다.

여기서 $$ P_7=R_{11}{C}_{{\theta }_z}+R_{21}{S}_{{\theta }_z},P_8=-R_{21}{C}_{{\theta }_z}+R_{11}{S}_{{\theta }_z},P_9=R_{31},P_{10}=R_{13}{C}_{{\theta }_z}+R_{23}{S}_{{\theta }_z},P_{11}=-R_{23}{C}_{{\theta }_z}+R_{13}{S}_{{\theta }_z},P_{12}=R_{33}$$이다. 식(11)에서 θ₆은 다음과 같이 구할 수 있다.

그러므로 식(9), 식(10), 식(12)에서 θ₁, θ₂, θ₆은 1쌍의 해가 존재한다. 다음으로 θ₃, θ₄, θ₅를 구하기 위해서 식(4)에서 다음을 계산한다.

θ₃, θ₄, θ₅를 구하기 위해서, 식(13)의 (2, 2) 성분과 (3, 2) 성분을 정리하면 다음과 같다.

식(14)에서 θ₃, θ₄, θ₅는 다음과 같이 구할 수 있다.

θ₄를 구하기 위해서, 식(13)의 (2, 4) 성분과 (3, 4) 성분을 제곱해서 C_θ4로 정리하면 다음과 같다.

여기서 $$ Q_3=-P_6{C}_{{\theta }_2}+\left(P_4{C}_{{\theta }_1}+P_5{S}_{{\theta }_2}\right)S_{{\theta }_2}-l_2-l_5{C}_{{\theta }_3+{\theta }_4+{\theta }_5},Q_6=-P_5{C}_{{\theta }_1}+P_4{S}_{{\theta }_1}-l_5{S}_{{\theta }_3+{\theta }_4+{\theta }_5}$$이고, 분모인 2l₃l₄가 영이 아니어야 하고, –1 ≤ C_θ4 ≤ 1이어야 한다. 삼각함수의 관계에서 $$ S_{{\theta }_4}=\pm \sqrt{1-C_{{\theta }_4}^2}$$이므로, θ₄는 다음과 같이 구할 수 있다.

θ₃을 구하기 위해서, 식(13)의 (2, 4) 성분과 (3, 4) 성분을 C_θ3, S_θ3에 대한 연립 방정식으로 정리하면 다음과 같다.

여기서 $$ Q_1=l_3+l_4{C}_{{\theta }_4},Q_2=-l_4{S}_{{\theta }_4},Q_4=-Q_2,Q_5=Q_1$$이다. 식(18)에서 θ₃은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 분모인 $$ Q_1^2+Q_2^2$$가 영이 아니어야 하고, –1 ≤ C_θ3 ≤ 1, –1 ≤ S_θ3 ≤ 1이어야 한다. θ₅는 다음과 같이 구할 수 있다.

그러므로 식(9), 식(10), 식(12), 식(17), 식(19), 식(20)에서 θ₁, θ₂, θ₆, θ₄, θ₃, θ₅는 전체적으로 2쌍의 해가 존재하므로 적절하게 선택해야 한다. 특히 사람과 같이 θ₄ ≤ 0°이라고 하면, Table 2와 같이 전체적으로 1쌍의 해가 해석적으로 존재하게 된다. 그리고 가장 일반적인 경우인 ±180°의 범위에서 계산하면 식(8)에서 2쌍, 식(7)에서 2쌍, 식(17)에서 2쌍으로 전체적으로 8쌍의 해가 존재하는데, 구체적인 해석 과정은 생략하기로 한다. 아울러 왼 다리의 경우도 용이하게 해석할 수 있다.

Table 2

Solution of inverse kinematics for common walking and skating with known location of end-effector

2.3 기지 말단 위치, 미지 말단 자세의 주행에 대한 역기구학의 해석

이 문제는 주어진 스케이트의 위치에서 주어진 θ₆을 만족하기 위한 스케이트의 자세인 β_Y와 미지의 θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, θ₅를 구하는 것이 되고, 미지수는 6개이다. 특히 2.2 절과 같이 오른 스케이트의 자세는 Table 1의 ∆₁, Ψ₁로 나타내는데, 미지수인 β_Y를 구하기 위해서 따로 분리해야 한다. 따라서 ∆_ij를 ∆₁의 (i, j) 성분이라고 하면, 식(3)과 같이 T와 Ψ₁의 자세 행렬은 다음과 같게 된다.

이 문제는 Table 3와 같이 크게 3경우로 나눌 수 있는데, 각각의 경우에 대해서 역기구학을 해석하기로 한다.

Table 3

Solutions of inverse kinematics for comfortable skating with known position and unknown orientation of end-effector