입력(전압)과 출력(속도)만을 이용한 1계 시스템으로의 근사화를 위해 아래와 같이 입력 u와 출력 y_vel을 이용하여 1계 시스템을 정의하였다.

망각인자를 이용한 순환최소자승 기법 기반 a를 추정하기 위해 아래와 같은 형태로 식(1)을 다시 정리할 수 있다.

y_vel는 Φ; a는 θ; u-y˙vel는 y_r로 각각 정의하고 순환최소자승기법을 이용하여 a를 추정하기 위해 망각인자 기반 목적함수를 아래와 같이 정의하였다.

정의된 목적함수를 최소화하기 위해 추정치에 대해 편미분하고, 추정치와 실제 값의 차이가 크지 않다는 가정하에 실시간 추정치를 계산할 수 있도록 정리를 하면 아래와 같은 수식이 도출될 수 있다.⁸

L은 추정을 위한 최적 이득값이고, 최적 이득값 계산을 위해 공분산(P)이 아래와 같이 망각인자를 이용하여 이득값과 함께 매 단계에서 계산된다.

순환최소자승 알고리즘에 적용되는 망각인자는 추정변화율을 결정하는 값이며 1에 가까울수록 낮은 변화율을 보인다. 합리적인 추정을 위해 추정치 및 공분산의 초기치와 함께 적절한 0과 1 사이의 망각인자(λ) 값이 필요하며 본 연구에서는 구간 별 시스템의 특성이 크게 변하지 않는다는 가정하에 망각인자(λ)는 0.999의 값으로 적용되었다. 다음 절에서는 사용된 외란추정기 설계에 대해 기술한다.

본 연구에서는 근사화된 1계 시스템과 실제 시스템의 오차가 작고, 정의된 오차를 추정하기 위해 외란(d)을 시변하는 상수로 표현하고 아래와 같이 정의하였다.

외란추정기 설계를 위해 식(6)을 상태공간방정식의 형태로 정리하면 아래와 같다.

추정오차를 각각 ey=y^vel-yvel와 ed=d^-d로 정의하고, 아래의 Error Dynamics를 이용하여 Lyapunov Direct Method기반 외란을 추정할 수 있다.⁷

K_d는 외란추정기 이득이며 Error Dynamics의 시스템 행렬이 Hurwitz가 되도록 정의되었으며, 시스템 계수 a의 수렴성능보다 외란의 수렴 빠르도록 정의되어야 한다. 아래는 추정을 위한 두 단계를 보여준다.

(1) Pre-Correction: 외란이 일정하다는 가정 기반 보정단계

(2) Estimation Correction: 시변하는 외란의 보정단계

정의된 조건들과 위 두 가지 단계를 거쳐 실제 시스템과 근사화된 1차 시스템의 오차를 추정할 수 있다. 다음 절에서는 추정된 1계 시스템의 계수(a^)와 외란(d^)를 이용한 최적제어 입력의 도출과정에 대해 기술한다.

직류모터의 속도제어를 위해 추정된 시스템 계수(a^)와 외란(d^)을 이용하여 Lyapunov Direct Method기반 입력(전압)을 도출하였다. 전동기의 회전속도 오차 e_vel = y_vel,d − y_vel를 이용하여 정의된 Lyapunov Candidate Function은 아래와 같다.

정의된 함수 J의 변화율이 항상 음의 값이 될 수 있도록 시간에 대한 변화율이 아래의 조건을 만족할 수 있는 최적제어 입력을 도출하였다.

W는 항상 양의 값이고 속도에 따라 결정되는 가중치로써 정의된 함수의 감소 변화율을 결정한다. W의가 결정되는 규칙은 다음 절에서 기술한다. 식(10)을 만족시키는 최적제어 입력값을 도출하기 위해 식(7)을 대입하여 정리하면 아래와 같이 최적제어 입력 u_opt에 대해 정리할 수 있다.

도출된 최적제어 입력은 직류전동기의 속도를 제어할 수 있는 최적제어 입력이며 대상 전동기의 수학적 모델과 물성치의 정보 없이 최적제어가 가능하게 한다. 이는 직류 전동기의 구간별 입력과 출력의 관계가 1계 시스템으로 근사화할 수 있기 때문에 가능한 것이다. 다음 장에서는 직류전동기의 수학적 상세 모델링을 기반으로 수행된 적응형 제어 알고리즘의 성능평가 결과에 대해 기술한다.

제안된 속도제어 알고리즘은 망각인자와 외란의 독립적인 추정성능을 가지고 있기 때문에 제어성능 확보를 위해 전동기의 요구속도의 변화율 y˙vel,d에 따른 합리적인 가중치(W) 필요로 한다. 그러므로 본 연구에서는 요구속도 변화율 y˙vel,d에 따른 최적 가중치(W_opt)를 시뮬레이션을 기반으로 도출하였다. 최적가중치 도출을 위해 구성된 제어알고리즘을 이용하여 Sinusoidal 입력 기반 추종 오차의 실효값(Root Mean Square, RMS)을 분석하였다. Fig. 3은 Sinusoidal 입력(1 Hz, 0.8 Hz, 0.6 Hz, 0.4 Hz, 0.2 Hz)을 인가하였을 때 W 값에 따른 추종오차(RMS) 결과와 주파수 별 오차를 최소화하는 최적가중치(W_opt)를 보여준다.

Fig. 3 
Tracking error (RMS) with respect to W

정의된 요구속도 변화율 y˙vel,d에 대한 최적 가중치 규칙을 정의하기 위해 인가된 Sinusoidal 입력 변화율의 실효값을 도출하였으며 Fig. 3의 최적가중치와 연결하여 선형화된 규칙을 도출하였다. Fig. 4는 최적가중치와 Sinusoidal 입력 변화율의 실효값 그리고 선형화된 규칙을 나타낸다.

Fig. 4 
Optimal W and linearized rule (dashed red line)

Fig. 4의 선형화된 규칙을 1차 함수로 나타내면 아래와 같이 요구속도 변화율에 대해 1차 근사화된 함수로 표현될 수 있다.

도출된 최적 가중치 결정 규칙을 이용하여 성능평가를 수행하였으며 다음 절에서는 개발된 모델 독립 제어기의 성능평가 결과에 대해 기술한다.

제안된 모델 독립 제어 알고리즘의 합리적인 성능평가를 위해 본 논문에서는 아래 Fig. 5와 같은 직류전동기 모델을 MATLAB/Simulink 환경에서 모델링 하여 사용하였다.

Fig. 5 
Circuit for DC motor

R과 L은 각각 저항과 인덕턴스이고, v과 v_emf 그리고 i는 인가전압, 역기전력, 그리고 전류를 의미한다. 직류전동기에 직접적으로 연결되어 있는 부하의 등가관성은 J, 등가 댐핑계수는 b로 정의하고, 키르히호프 법칙과 오일러 법칙을 이용하여 직류전동기의 수학적 모델을 아래와 같이 정리할 수 있다.

K_Φ는 EMF Constant를 의미하며 사용된 직류전동기의 계수들은 아래 Table 1과 같다.

개발된 적응형 모델 독립 제어알고리즘의 성능평가를 위해 직류전동기에 직접적으로 연결된 부하의 시간에 따른 변화를 적용하였다. 이를 위해 연결된 부하모델의 관성이 시간에 따라 변화되도록 성능평가 시나리오를 구성하였다. 평가를 위해 인가된 요구 직류전동기의 속도는 계단입력과 사인파입력을 인가하였으며 모든 경우에 대해 합리적인 제어성능을 확보하는 것을 확인할 수 있었다. 다음 절에서는 구성된 직류전동기 모델과 제어기를 이용한 성능평가 결과를 보여준다.

Fig. 6는 성능평가를 위해 구성된 직류전동기와 적응형 모델 독립 제어기를 포함하는 시뮬레이션 모델을 보여준다.

Fig. 6 
Integrated simulation model for performance evaluation

성능평가를 위해 적용된 y_vel,d는 스텝입력과 사인파가 적용되었으며 최적제어 입력 도출을 위해 필요한 y˙vel,d는 선형 칼만필터를 이용하여 추정되었다. 성능평가를 위해 정의된 변수는 아래 Table 2와 같으며 Figs. 7-9는 평가 결과를 보여준다.

Fig. 7 
Performance evaluation results (step input)

Fig. 8 
Performance evaluation results (sinusoidal input, 0.4 Hz)

Fig. 9 
Performance evaluation results (sinusoidal input, 0.8 Hz)

제시된 제어 알고리즘의 현실적 성능평가를 위해 실제 직류전동기를 이용한 실험환경을 구축하였다. 구축된 실험환경은 직류전동기, 회전각도 계측을 위한 엔코더, 데이터 수집장치, 전압공급장치, 그리고 컴퓨터로 구성되었으며 다음 Fig. 10에서 구성요소들을 보여준다.

Fig. 10 
Elements for experiment setup

구성된 실험장치의 제어기를 설계하고 적용하기 위해 MATLAB/Simulink를 이용하여 제어기를 구성하고, 직렬통신 기법을 이용하여 데이터 수집 및 명령입력을 수행하였다. 하지만 실험에 적용된 제어 알고리즘은 실험장치의 성능(엔코더의 각도 계측성능)을 고려하여 직류전동기의 속도제어가 아닌 회전각 제어 알고리즘을 적용하였다. 그러므로 동일 알고리즘 내 시스템 출력이 직류전동기의 각도로 정의되었다. 제안된 알고리즘의 성능은 시스템 출력의 변화율에 민감하기 때문에 향후 회전 각가속도 정보를 추정할 수 있는 고성능 계측센서를 이용하여 속도제어 실험환경을 구축할 계획이다. 실험은 회전관성의 변화에 대한 두 가지 입력조건(계단입력, 정현파 입력)이 적용되었으며 Fig. 11에서 보여준다.

Fig. 11 
Experimental conditions: rotational inertia change

Fig. 11의 왼쪽 사진은 부착물이 없는 상태의 직류전동기를 보여주고, 오른쪽 사진은 부착물이 연결된 직류전동기를 보여준다. Figs. 12와 13, Table 4는 회전관성의 변화에 대한 계단 및 정현파 각도입력이 인가되었을 때 직류전동기의 회전각도 제어 결과를 보여준다.

Fig. 12 
Experimental results: step input

Fig. 13 
Experimental results: sine wave input

Figs. 7-9에서 볼 수 있듯이 제안된 적응형 모델 독립 속도제어 알고리즘은 회전관성의 변화와 요구 속도의 다양한 주파수에 대해 강건한 제어성능을 보여주었다. 스텝입력이 인가된 Case-1의 경우 요구속도에 대한 제어결과 급격한 요구속도의 변화시점(5초)에서 약 0.5초 내 수렴하는 성능을 보였다. 요구속도의 변화율이 0이기 때문에 칼만필터의 추정오차 또한 0에 가까우며, 이는 합리적인 근사화 및 최적제어 입력 도출을 가능하게 하기 때문에 회전관성이 급변하는 10초 구간에서 근사화 및 제어오차가 발생하지 않는 것을 확인할 수 있다. 요구속도의 변화율이 시변하는 Case-2와 Case-3의 경우 스텝입력일 때와는 다르게 근사화 및 추정에 따른 제어성능이 상대적으로 낮아지는 것을 확인할 수 있었지만 합리적으로 1계 시스템의 계수와 오차를 추정하면서 평균적인 오차의 크기가 1 deg/s 미만을 유지하는 것을 확인할 수 있었다. 또한 10초 때 직류전동기에 적용된 등가 회전관성이 3배 증가하더라도 약 0.5초 내 수렴하는 제어성능을 확인할 수 있었다. 그리고 실험환경 구축에 따른 제어 알고리즘의 성능평가 결과 회전관성의 변화 조건에서 시스템의 출력이 요구되는 계단입력과 정현파 입력을 합리적으로 추정하는 것을 확인할 수 있었으며, 회전관성의 변화에 따른 추정오차는 계단입력의 경우 약 1.1 deg의 차이를 보였으나 정현파 입력의 경우 약 0.1 deg의 차이를 보였다. 본 연구에서 제안한 제어 알고리즘은 시뮬레이션 및 실험적으로 합리적인 성능을 보였지만 사용된 고정된 망각인자 값은 Steady State Error를 0으로 수렴시킬 수 있는 최적제어를 위한 값이 아니며 계측된 직류전동기의 속도는 잡음이 없는 값으로 가정하여 수행된 평가결과이다. 그러므로 향후 제어성능 향상을 위해 전동기의 속도 변화율에 따른 망각인자의 적응형 변경규칙 적용 및 잡음에 대한 강건한 성능을 확보하고, 고성능 계측센서의 사용을 통한 직류 전동기 속도제어 알고리즘의 실험적 검증을 추가적으로 계획하고 있다. 다음 장에서는 본 논문의 결론을 기술한다.