퍼듀대학교(Purdue University)의 Lianis⁷는 스티렌-부타디엔 고무에 대한 실험을 통하여 응력과 변형률 간의 구성방정식을 만들었고, Lianis가 실험을 통하여 제안한 기본식을 응력과 변형률의 관계로 나타내면 다음 식(1)과 같다.

σ(t)는 응력텐서이며, p(t)는 비압축성의 제한으로부터 온압력이며, t는 현재의 시간, s는 과거에서 현재까지의 시간, B는 왼쪽 코시-그린 텐서(Left Cauchy-Green Tensor), C_t (s)는 오른쪽 상대 코시-그린 텐서(Right Relative Cauchy-Green Tensor), I₁과 I₂는 B의 스트레인불변량(Strain Invariants)이고, I는 3 × 3 항등행렬(Identity Matrix)이며, 식(1)에 필요한 모드에 대하여 경계 조건을 적용하여 원하는 리아니스 모델을 완성할 수 있다. 또한, 실험값인 P₀(t), Q₀(t), P₁(t), Q₁(t)은 스티렌-부타디엔고무의 0^oC 에서 시간에 따라 변하는 물질의 특성이며, a, b, c, d는 일정한 값을 갖는 물질의 특성으로, 실험적으로 구해진 값들은 Lee¹⁰에 나타나 있다.

미국 미시간대학교 기계공학과의 자동차 구조 내구성 센터(Center for Automotive Structural Durability Simulation)에서는 현가장치의 동역학적 현상을 정확히 예측하기 위하여 정확한 자동차 부싱의 모델이 필요하게 되었고, Lee와 Wineman^1,3은 복잡한 리아니스 모델을 대체할 수 있는 새로운 점탄성 모델로서, Pipkin과 Rogers가 제안한 형태의 식을 부분적분법으로 정리한 후 하중과 변형량에 대한 새로운 관계식을 정립하여 이를 핖킨 라저스 모델로 명명하였고, 이 관계를 회전 방향 모드에 대하여 제안한 기본식은 다음 식(2)와 같다.

M(t)는 현재 시간 t에서의 모멘트를 나타내며, g(s)는 시간 s에서의 회전변형각도를 나타내고, H는 회전변형각도에 의존하는 모멘트 완화함수(Rotational Angle Dependent Moment Relaxation Function)이다.

자동차 현가장치의 일래스토메릭 부싱은 다양한 형상을 가지고 있으나, 본 연구에서 고려한 형상은 가장 단순한 형태인 바깥쪽의 실린더형 슬리브와 안쪽의 실린더형 축 사이에서 가운데가 비어있는 실린더의 형태를 가지며, Lee¹⁰의 회전 방향 모드에 대한 변형 전과 변형 후의 형상은 Fig. 1과 같다.

Fig. 1 
Reference and current configurations in torsional mode

회전 방향 모드에 대한 리아니스 모델을 이용하여 완성된 핖킨-라저스 모델과 이를 활용하여 MPR 모델을 완성한 과정은 Lee¹⁰에 자세히 언급되어 있으므로 여기에서는 생략하며 완성된 MPR 모델은 다음 식(3)과 같다.

Lee¹⁰는 회전 방향 모드에 대한 핖킨-라저스 모델로부터 MPR 모델을 완성하는 과정에서 스텝회전변형각도 제어실험(Step Rotational Angle Control Test)을 활용하였고, 완성된 MPR 모델의 오차를 확인하는 과정에서도 스텝회전변형각도 제어실험을 이용하였으며, 상대오차는 평균 15% 이내로 점탄성학에서의 유효한 오차라고 언급하였고, 이를 통하여 제안된 MPR 모델은 새로운 부싱 모델로서 회전 방향 모드에 대하여 사용이 가능하다고 언급하였다. 본 연구에서는 스텝 회전 변형 각도 제어실험을 이용하여 만들어진 새로운 MPR 모델이 일반적으로 사용이 가능한 것을 보여주고자 부싱의 안쪽 반지름에 회전변형각도 (g(t))를 다음 식(4)와 같이 사인함수로 가정하여 제시하였다.

현재의 시간 t의 단위는 초(sec.)이고, A는 무차원화된 진폭이며, f는 주파수로 단위는 Hz이다.

T는 주어진 회전변형각도 g(t)의 주기를 나타내며, 단위는 초이고, 주파수 f의 역수가 된다. 무차원화된 진폭 A는 0.1, 0.3, 0.5, 0.7로 놓았으며, 주기 T는 5초, 10초, 20초, 40초, 80초를 사용하여, 총 20개의 데이터 세트를 사용하였으며, PR 모델과 MPR 모델에 대하여, 주어진 동일한 변형각도로부터 구해진 모멘트 M(t)의 결과를 비교하였다.

Fig. 2는 주어진 사인함수 g(t) = Asin(2πft)에서 A = 0.7, f = 0.1Hz (T= 10초)의 주어진 변형 각도 함수인 g(t) = 0.7sin(0.2πt)를 나타내고 있으며, Fig. 3은 g(t) = 0.7sin(0.2πt)를 PR 모델에 적용하여 나온 모멘트 M(t)를 나타내고 있다. Figs. 4는 2에서 주어진 g(t) = 0.7sin(0.2πt)에 대하여 MPR 모델을 이용하여 구해진 모멘트 M(t)를 보여주고 있다.

Fig. 2 
Given rotational angle g(t) = Asin(0.2πt)

Fig. 3 
Moment output from PR model

Fig. 4 
Moment output from MPR model

Figs. 5는 3과 4의 결과를 함께 그려서 비교한 그림이다.

Fig. 5 
Comparison of Moment output between MPR model and PR model

Fig. 6은 PR 모델에 대하여 모멘트와 변형각도의 관계를 그래프로 그린 것이며, Fig. 7은 MPR 모델에 대하여 모멘트와 변형각도의 관계를 그래프로 그린 것이다. Figs. 6의 PR 모델의 그래프는 7의 MPR 모델의 그래프에 비하여 부싱의 비선형성이 큰 것을 알 수 있으며, 이는 MPR 모델이 PR 모델을 단순화한 선형화 작업을 수행하였기 때문이다.

Fig. 6 
The relation between Moment and Rotational angle from PR model

Fig. 7 
The relation between Moment and Rotational angle from MPR model

Figs. 8은 6의 PR 모델과 7의 MPR 모델의 경우를 함께 표시한 것으로 앞서 언급한 비선형성의 차이를 확인할 수 있다.

Fig. 8 
Comparison of Moment output and Rotational angle between MPR model and PR model

주어진 PR 모델에 대한 MPR 모델의 모멘트 M(t)의 상대오차(Relative Error)를 비교하기 위하여, 상대오차를 2-놈(2-Norm)을 이용하여 정의하였다.

무차원화된 진폭 A와 주기 T에 대한 총 20개의 데이터 세트에 대한 MPR 모델의 PR 모델에 대한 상대오차는 Table 1과 같다.

Table 1을 통하여 PR 모델에 대한 MPR 모델의 상대오차는 평균적으로 약 11.7%이고, 모든 상대오차가 20% 이내로 나타났다. Lee¹⁰에서 사용한 스텝 회전 변형 각도 제어실험으로부터 나온 PR 모델에 대한 MPR 모델의 상대오차는 평균적으로 약 7.9%이고, 모든 상대오차가 15% 이내인 것을 고려해 볼 때, 사인함수의 회전변형각도 제어실험(Sinusoidal Rotational Angle Control Test)을 이용한 상대오차가 스텝회전변형각도 제어실험을 이용한 상대오차에 비하여 다소 높은 것은 사실이다. 하지만, 사인함수의 회전변형각도 제어실험을 이용한 상대오차가 평균 11.7%인 것과 최대 상대오차가 20% 이내라는 것은 점탄성학의 특성상 유효한 오차 범위이므로 제안된 MPR 모델은 사인함수 등 일반 함수에 있어서도 사용이 가능한 것으로 검증되었다.