입력축과 차축은 2개의 베어링으로 케이스와 연결된다. 가진력은 다음과 같이 가정하였다. (1) 모든 가진력은 베어링을 통하여 전달된다. (2) 가진력은 X, Y, Z 방향으로 분해하여 나타낼 수 있다. (3) 모든 가진력은 베어링의 중앙에 작용한다. Fig. 3에 가정한 가진력을 나타내었다.

Fig. 3 
The virtual points of action of load

해석 모델은 Siemens사의 Simcenter 3D 2021.1을 이용하여 작성하였다. Fig. 7에서처럼 상하부 케이스 조립품을 331,418개의 Tetra 10 요소로 모델링을 수행하였다. 이때 내부의 유로 형상 및 곡면들을 모사하고, 두께 방향으론 최소 2겹의 요소가 있도록 형상에 따라 2-32 mm 크기의 요소를 사용하였고, 기본적인 Simcenter Nastran의 요소 품질 검토 조건을 만족하는지 확인하였다.

Fig. 7 
CAE model of reduction gear

해석 모델을 실험적 모드해석(Experimental Modal Analysis, EMA) 결과와 Cross MAC (Modal Assurance Criterion)을 도출하여 동일한 모드를 확인하고, 공진 주파수를 비교하였다. 또한 FRF 결과가 실험 결과와 유사한지 확인하였다.

EMA는 Fig. 8과 같이 우레탄 패드 위에 감속기 케이스를 거치하고 대상 표면에 수직 방향으로 5지점의 가속도를 측정하며, 107지점을 임팩트 해머로 충격 가진할 때 계산되는 535개의 FRF 세트를 이용하여 수행하였다. EMA에서는 2 kHz 이하 주파수 대역에서 19개의 고유 진동 특성을 확인하였다.

Fig. 8 
Cross MAC results between Test mode-set and CAE mode-set

Fig. 9 
Cross MAC results between test mode-set and CAE mode-set

감속기 케이스 해석 모델의 FRF를 비교하여 모델을 검증하였다. 하지만 실험에서는 20 Hz 이하에서 우레탄 패드의 강성에 의한 강체 모드가 나타났다. 하지만 그 이상의 1 kHz 이하 주파수 대역에서는 모델이 실제 동특성을 충분하게 반영하는 것으로 보인다. 1.5 kHz 이상의 대역에서는 다소 피크 주파수 차이가 나타난다. 이는 국부적인 형상 차이들을 해석 모델이 반영하지 못하였기 때문으로 생각된다.

Fig. 10 
Comparison Test FRF with CAE of gear case assembly

동특성 검증을 수행한 케이스 모델에 리액션 로드와 베어링 시트 등의 연결 부품을 추가하여 FRF 해석 모델을 구성하였다. 이때 FRF는 12개의 가상 가진력과 27개의 응답으로 이루어져 있다. 총 324개의 FRF 세트로 구성하였다. 차축의 우측의 Z 방향 단위 하중에 의한 주파수 응답 함수는 Fig. 11과 같다. 동일 지점에서도 방향에 따라 차이를 보인다. 주요 모드가 있는 주파수 대역에서는 거의 모든 지점과 방향에서 큰 응답 특성을 보인다.

Fig. 11 
FRF results by CAE of reduction gear by right axle bearing force Z

27개의 응답을 이용하여, 가진력을 복원하였을 때, 결과는 Fig. 12와 같다. 125 Hz 이하 대역에서는 X 방향으로는 작은 가진력을 나타내며, Y, Z 방향으로는 상대적으로 큰힘이 나타난다. 125-250 Hz 대역에서는 X, Y 방향으로 큰 힘이 계산된다. 625 Hz 이상 대역에서는 상대적으로 힘들이 작아지는 경향을 보이게 된다.

Fig. 12 
Reconstructed force by 27 DOF

Fig. 13은 가진력은 사용된 응답의 숫자에 따른 우측 차륜의 Y 방향 힘의 결과이다. 모든 경우에 힘은 유사한 개형을 보인다. 하지만 세부적으로 입력 자유도에 따라 크기의 차이가 나타난다. 41 Hz 밴드 입력축의 회전 주파수(40 Hz)이고, 18.3 Hz 밴드는 차축의 회전 주파수(18.6 Hz) 대역이다. 해당 주파수 대역에서 진동 가진력이 다소 크게 나타나는 것을 알 수 있다. 기어 물림 주파수인 1,500 Hz 대역에도 가진력이 발생되는 것을 알 수 있다.

Fig. 13 
Reconstructed force for right axle force by Y direction

복원한 가진력을 검증하기 위해서 해석 모델에 복원된 가진력을 적용하여 계산한 응답(X¨p')을 실험 결과(X¨T)와 비교하였다. Fig. 14는 10번 지점의 응답을 비교하였다. 18, 24, 27자유도에서는 가진력 도출 시 사용된 측정값(X¨T)으로 이러한 경우에는 실험 결과와 매우 유사한 결과를 보여준다. 하지만 12자유도의 경우는 특정 주파수 대역에서는 다소 오차가 발생하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 15는 가진력을 도출할 때 사용하지 않은 임의의 측정점(Point A)에서 가속도 결과로서 이러한 경우 계산 시 사용된 지점보다 차이는 두드러지게 나타나지만, 대체적으로 유사한 결과를 얻을 수 있다. 특히 자유도가 충분한 경우 125 Hz 이상 주파수 대역에서는 상대적으로 실험에 근접한 결과를 얻을 수 있었다.

Fig. 14 
Comparison of acceleration results at Y-direction of point 9

Fig. 15 
Comparison of acceleration results at X-direction of point A

FRF의 SVD 시 주파수별 가장 큰 특이값 결과(s₁)는 Fig. 16에서 보듯이 자유도에 따라 큰 차이가 나타나지 않는다. 하지만 Fig. 17에 표시한 가장 작은 특이값(s₁₂)은 사용된 응답의 크기에 차이가 있고, 12 DOF인 경우에는 상대적으로 매우 작게 나타난다. 작은 특이값은 작은 오차에도 역산된 결과에 과도한 차이를 발생시킨다.

Fig. 16 
Largest singlular value (s₁) results by input accerelation D.O.F

Fig. 17 
Smallist singlular value (s₁₂) results by input accerelation DOF

각 주파수별로 s₁ 대비 2% 이하인 과도하게 작은 특이값을 삭제하고 가진력을 복원하였다. 이때 각 주파수별로 사용된 특이값 행렬의 크기는 Fig. 18에 랭크로 표현된다. 특정 주파수 대역에서는 12개의 특이값 중 크기가 큰 2개의 특이값만을 이용하여 가진력이 복원하였다. 충분히 많은 응답(27 DOF, 24 DOF)의 경우에는 버려지는 행렬이 작은 것을 알 수 있다. 하지만 입력된 자유도가 작아질수록 버려진 특이값이 많아져 랭크 부족 현상이 두드러지게 나타난다. 165 Hz 이하 대역에서는 케이스의 강체 모드의 영향이 매우 크기 때문에 낮은 랭크를 보인다. 또한 659, 693, 800 Hz에서는 케이스 조립체의 공진 모드들이 있는 주파수 대역에서도 낮은 랭크를 보이며, 이러한 공진 주파수 대역에서는 주파수의 분해능, 비선형성에 의한 FRF 오차와 악조건성(Ill-Condition)이 두드러지게 나타난다.⁵

Fig. 18 
Rank of matrix results by input accerelation DOF

특이값의 임계 범위(Threshold)는 주파수 대역별로 연산에 포함되는 특이값의 경계로서 가장 큰 특이값(s₁) 대비 비율로 표현하였다. 4%는 s₁의 4% 이하의 특이값을 제하고 가진력을 복원하는 것을 말한다. 이 임계 범위가 0, 2, 4%일 때, 오른쪽 차축의 X 방향 결과는 Fig. 19와 같다. 이때 0%는 모든 특이값을 포함한 경우를 말하며, 저주파수에서 매우 큰 가진력 결과를 보인다. 이는 s₁ 이 낮은 주파수 대역에서 매우 큰 값이고, 상대적으로 작은 특이값이 역산되면서 잡음에 큰 영향을 받는 것으로 보인다. 하지만 너무 높은 특이값까지 버려지면 시스템의 동특성이 반영되지 않으므로 적절한 임계 범위를 선정이 필요하다. 대상의 경우 2-4%의 임계 범위는 거의 유사한 특성을 보이지만, 160-400 Hz 대역에서는 다소 차이가 있다. 0%의 경우 저주파수 대역에서 매우 큰 가진력이 도출된다. 임계 범위에 따라 복원된 가진력들을 검증하기 위해서 Fig. 20에 Point A에서 진동 응답을 비교하였다. 응답에서는 Fig. 19의 가진력에 비하여 차이가 두드러지게 나타나진 않는다. 하지만 100,000 N의 가진력은 비현실적이므로 적절한 임계 범위 설정이 필요해 보인다.

Fig. 19 
Reconstructed force by relative threshold for singular value (Right axle force, X deration)

Fig. 20 
Comparison of acceleration results at X-direction of point A by relative threshold