어드미턴스 제어 모델은 매니퓰레이터가 외부 환경과 접촉이 발생하기 전 그리고 후로 나누어 로봇의 상태를 자유 공간에서의 제어 상태와 접촉 공간에서의 제어 상태로 정의하게 된다. 그리고 각 상태에 따라 제어기법을 서로 다르게 하는 것이 일반적이다.¹² 로봇의 목표 궤적이 존재하고 말단에서 힘 피드백을 받아 조립 공정을 수행하는 공장형 로봇은 식(1)과 같이 자유 공간에서의 어드미턴스 모델이 적용된다.

x는 매니퓰레이터의 말단 위치를 의미하고, x₀는 목표 위치를 의미한다. 그리고 m_d, d_d, k_d는 어드미턴스 파라미터들로 각각 목표 무게, 댐퍼 그리고 강성을 의미한다. f_ext는 로봇 말단에 인가되는 모든 힘으로 식(2)와 같이 상호 작용 힘 f_h와 목표 힘 f₀로 구성된다. 착용형 로봇에서는 사용자의 손과 매니퓰레이터의 말단이 항상 접촉 상태에 있기 때문에 식(3)과 같이 로봇의 목표 궤적 x₀, 속도 x˙0, 가속도 x¨0그리고 k_d를 0으로 하는 접촉 공간에서의 어드미턴스 제어 환경이 만들어진다.⁸ 그리고 힘 증강 로봇에서는 사용자 부담을 최소화하기 위해 목표 힘 f₀는 0 N으로 설정된다.

어드미턴스 제어기의 안정성 평가는 일반적으로 선형 다이나믹스로 구성된 1자유도 모델을 기반으로 진행된다.^7,8,13 하지만 이와 같은 1자유도 모델 기반은 모델링의 불확실성 및 비선형성에 대한 고려가 부족하기 때문에 본 논문에서는 인간-로봇 시스템의 주파수 응답에 대한 정성적 평가를 위해서만 사용된다.¹³

Fig. 1은 어드미턴스 제어기의 안정성 평가를 위한 블록선도이다. 식(3)을 기반으로 구성된 어드미턴스 모델 C₁은 식(4)와 같이 외부 힘에 대한 말단 위치 x_ref를 결정한다. 그리고 폐루프 위치 제어기 C₂를 통하여 이를 추종한다. 이 내부 위치 제어기는 식(5)와 같이 비례 게인 k_p와 미분 게인 k_v를 갖는 비례-미분 제어기로 구성되어 x_ref를 추종하기 위한 힘 f_out을 출력한다.

Fig. 1 
Block diagram of admittance control for stability analysis

안정성 분석을 위한 단순화된 1자유도 모델 G_p는 식(6)과 같이 로봇의 무게 m_r과 부하물의 무게 m_load를 포함한다. 사용자 임피던스 Z는 식(7)과 같이 스프링 모델 k_h로 구성되었다. 그리고 시간 지연 함수 H_d는 식(8)과 같이 전체 시스템을 t_d만큼 선형 1차 지연시킨다.

식(4)에서 식(8)을 따라 인가된 외부 힘에 대한 어드미턴스 제어기의 전달함수 C_adm은 식(9)와 같다.

1자유도 모델에서 어드미턴스 제어기의 안정성을 분석하기 위해 m_r은 1 kg 그리고 t_d는 1 ms로 설정하였다. m_d와 d_d는 각각 1 kg과 15 Ns/m로 설정하였다. 그리고 내부 위치 제어기의 k_p와 k_v는 임계 감쇠 조건을 만족하도록 각각 100 N/m와 20 N/s로 설정되었다. 또한, 부하 무게에 따른 어드미턴스 제어기의 특성을 보이기 위해 m_load는 0에서 4 kg의 서로 다른 무게를 갖도록 구성하고 비교 평가하였다.

Fig. 2(a)는 식(9)로부터 구해진 사용자 강성 증가에 따른 근궤적 선도이고, Fig. 3은 보드 선도이다. 두 그래프에서 회색에서 빨간색까지의 각 선은 0에서 4 kg의 서로 다른 부하 무게를 갖는 어드미턴스 모델의 제어 특성을 표현한다. 이를 통해 어드미턴스 제어기는 사용자의 강성과 부하 무게가 증가할수록 불안정해짐을 알 수 있다. Fig. 2(b)의 파란선은 부하 무게에 따른 각각의 근궤적 선이 실수축과 맞닿아 한계 안정(Marginally Stable)할 때의 강성을 표현한 것이다. Fig. 2(b)의 초록 점선은 실험적으로 측정된 사람 상지의 강성 평균값으로서 176.39 N/m 의 값을 갖는다.¹⁴ 이를 통해 부하 무게가 증가할수록 허용 가능한 사용자의 동작 의도가 점점 줄어들고, 부하 무게가 3 kg을 초과하면 사용자의 작은 동작 의도에도 시스템이 불안정해짐을 알 수 있다.

Fig. 2 
Stability analysis of the admittance controller

Fig. 3 
Frequency response plot of the admittance controller with fixed control parameters when the load mass increases

시스템의 불안정을 야기하는 다양한 운용 환경에 대응하기 위하여 어드미턴스 파라미터를 조절하는 제어기법들은 다양한 방식으로 연구되어왔다. 일반적으로 불안정 상태의 시스템을 안정화하기 위하여 목표 무게 m_d를 고정시키고, 목표 댐퍼 d_d를 증가시켜 과도 감쇠(Overdamped)를 유도하는 가변 어드미턴스 제어기법이 사용되어왔다.^15,16 하지만 이와 같이 댐퍼만 조절하는 것은 진폭의 크기는 줄일 수 있더라도 진동 주파수는 낮출 수 없는 성능 한계를 갖게 된다. 사용자와 로봇이 상시 접촉 상태에 있는 착용형 로봇에서는 사용자에게 의도하지 않은 고진동으로 인한 불안감을 유발시킬 수 있다.⁵ 이를 해결하기 위하여 m_d와 d_d를 고정된 비율로 증가시키는 가변 어드미턴스 제어 기법이 제안되었다.⁸ 제안된 제어기에서는 진동 주파수 및 진폭 모두를 효과적으로 낮추어 사용자가 느낄 불안감을 예방할 수 있었다.

m_d와 d_d가 고정된 비율을 갖고 증가하였을 때 어드미턴스 제어기의 특성은 Fig. 4의 보드 선도와 같다. Fig. 4의 보드 선도를 구하기 위한 파라미터 및 게인들은 Fig. 3에서의 설정과 동일하며 부하 무게 m_load는 3 kg으로 고정되게 설정되었다. 따라서 부하 무게가 3 kg일 때 시스템이 불안정하였던 Fig. 3의 붉은 선과 Fig. 4의 붉은 선은 동일하다. Fig. 4의 보드 선도를 통해 불안정하였었던 제어기가 어드미턴스 파라미터를 고정된 비율로 증가함으로서 초록선과 같이 진동주파수 및 진폭을 감소시켜 안정화됨이 확인된다.

Fig. 4 
Frequency response plot of the admittance controller when the desired mass and damper increase at a fixed rate with 3 kg of the load mass

본 논문에서는 안정성 분석을 통해 구해진 어드미턴스 제어기 특성을 활용하여 부하 무게에 강인한 착용형 힘 증강 로봇의 제어를 위해 식(10) 그리고 식(11)과 같이 목표 무게 및 댐퍼를 고정된 비율로 조절하는 가변 어드미턴스 제어기법을 제안한다.

m_d,0와 d_d,0는 m_d와 d_d의 초기값으로 무부하 상태에서 사용자 동작 의도에 순응한 제어를 하기 위하여 민감하게 설정된다. α는 부하 무게에 따라 어드미턴스 파라미터의 변화율을 조절하기 위한 가중치 변수이다. 이를 통해 제안된 가변 어드미턴스 제어기의 파라미터 m_d와 d_d는 고정된 비율을 가지고 무부하 상태에서는 민감하게 그리고 부하 무게가 증가할수록 둔감하게 설정된다.

본 장에서는 부하 무게 증가에 따른 가변 어드미턴스 제어기의 성능을 시뮬레이션을 통해 먼저 검증한다. MATLAB Simulink를 기반으로 구성된 시뮬레이터에서는 로봇 모델을 1 ms의 제어 주기로 시뮬레이션하게 된다. 제안된 제어기의 순수한 성능을 검증하기 위해 중력 보상기는 물성 오차 없이 로봇 및 부하 무게를 보상한다.

Fig. 6 
Block diagram of the proposed admittance controller for the power assist robot

제어 파라미터들은 30 kg의 고중량 물체를 이송하기 위해 높은 기어비와 낮은 역구동성을 갖는 시스템 환경을 고려하여 관절 마찰을 극복하도록 설정되어야 한다. 이에 관절 공간에서의 위치 제어 게인 k_p와 k_v는 각각 10,000 N/m와 200 Ns/m로 강인하면서도 임계 감쇠하도록 설정되었다. 또한 역기구학의 비례게인 k_inv 역시 20,000 N/m로 충분히 강인하게 설정되었다. 어드미턴스 파라미터의 초기값은 단계적으로 구성된 위치 제어기들로 인해 둔감해진 시스템의 응답성을 높이기 위하여 M_d,0는 0.0001 kg으로 민감하게 설정되었으며 D_d,0는 안정성 확보를 위하여 상대적으로 높은 0.5 Ns/m로 설정되었다.

시뮬레이션 환경에서 가상의 사용자 힘을 생성하기 위한 사람의 임피던스 모델은 식(16)과 같다. X_h는 3 × 1 행렬로 가상의 사람 손 위치를 의미한다. M_h, D_h 그리고 K_h는 사람 상지의 무게, 댐퍼 그리고 강성을 의미하는 3 × 3 대각 행렬이다. M_h, D_h 그리고 K_h의 각 요소들은 실험적으로 측정된 사람 임피던스를 기반으로 각각 1.27 kg, 12.02 Ns/m 그리고 176.39 N/m로 설정되었다.¹⁴

시뮬레이션에서 가상의 사람 손 위치는 사용자가 부하물을 들어올림을 모사하여 Fig. 7과 같이 Z축으로 0.3m 이동한다. 목표 이동 속도는 실험적으로 측정된 사람 상지의 포인트 투 포인트 이동에 대한 최대 속도를 참고하여 0.3 m/s로 설정되었다.¹⁷ 목표 이동 속도를 도달하기 위한 가감 속도는 0.5 m/s²으로 설정하였다.

Fig. 7 
Virtual human trajectory along the z-axis for simulation verification

Fig. 7과 같은 사용자 궤적이 주어졌을 때 M_d,0와 D_d,0로 고정된 어드미턴스 파라미터를 갖는 제어기의 시뮬레이션 결과는 Fig. 8과 같다. Fig. 8의 회색에서부터 빨간색 선은 무부하부터 30 kg까지의 부하 무게에 따른 제어 성능을 나타낸다. Fig. 8(a)는 사용자가 물건을 이송하고 정지할 때의 로봇 거동을 나타낸다. Fig. 8(b)는 부하 무게를 들어올리기 위해 사용자에게 요구되는 상호 작용 힘을 나타낸다. 고정된 어드미턴스 파라미터를 갖는 제어기는 부하 무게가 증가하더라도 등속 운동 시에 사용자에게 0.1 N의 동일한 상호 작용 힘을 요구하였다. 하지만 가속 혹은 감속 시에는 부하 무게에 의한 관성의 증가로 인해 요구되는 상호 작용 힘이 증가하게 됨을 알 수 있다. 특히 감속을 시작하는 1.5초에는 30 kg의 부하 무게를 이겨내고 감속하기 위해 무부하 대비 5배 증가한 상호 작용 힘이 발생하였고, 이로 인해 사용자가 의도하지 않은 진동을 유발하였다. 이와 같은 동작 의도를 벗어난 진동은 사용자에게 불안감을 야기시킬 수 있다.⁵

Fig. 8 
Simulation results of the admittance controller with fixed parameters when the load mass increases

따라서 가변 어드미턴스의 가중치 파라미터 α는 힘 증강 로봇 착용 시 사용자가 느낄 불안감을 제거하기 위하여 진동이 적게 발생하도록 설정되어야 한다. 이에 본 논문에서는 정지 시 발생하는 오버슈트(Overshoot)와 링백(Ringback) 사이의 양진폭(Peak-to-Peak)이 가장 적은 M_d,0 대비 α의 비율을 시뮬레이션을 통해 구하였다. Fig. 9는 Fig. 7과 같은 사용자 모션에 대하여 M_d,0 대비 α의 비율이 0에서 0.2 사이의 값을 가질 때 부하 무게에 따른 양진폭의 크기를 표현한 등고선 그래프이다.

Fig. 9 
The contour plot for peak-to-peak between overshoot and ringback in simulation which preformed using various α to M_d,0 ratios and load masses

Fig. 9에서 부하 무게가 0 kg인 무부하 상태에서의 양진폭의 크기는 모두 동일하다. 이는 부하 무게가 0 kg이므로 M_d,0 대비 α의 비율이 증가하더라도 어드미턴스 파라미터가 변하지 않고 동일하기 때문이다. 이와 같은 무부하 상태에서는 민감하게 설정된 M_d,0 그리고 D_d,0로 인해 약 1.4 mm의 양진폭이 발생하였다.

M_d,0 대비 α의 비율이 0인 경우는 고정된 어드미턴스 파라미터를 갖는 제어기의 결과를 의미하며 부하 무게가 증가할수록 양진폭이 증가하고 최대 부하 무게 30 kg에서는 약 4.0 mm 크기의 진동이 발생하였다.

반면 M_d,0 대비 α의 비율이 증가한 가변 어드미턴스 제어기들의 결과는 고중량 물체 이송 시 양진폭이 감소하였다. 특히 0.15의 비율부터는 5 kg 이상의 부하 물체 이송에도 제어기가 과도 감쇠되어 진동이 발생하지 않았다. 따라서 M_d,0 대비 α의 비율이 크게 설정되면 설정될수록 사용자에게 전달되는 양진폭의 크기가 감소하기 때문에 사용자가 느낄 불안감을 방지할 수 있다. 하지만 과도한 감쇠 효과는 사용자에게 높은 상호 작용 힘을 요구하게 된다. 이에 본 논문에서는 부하 물체 이송 시 사용자 안전을 최우선으로 하면서도 과도한 감쇠 효과로 인한 사용자 부담을 방지하기 위해 M_d,0 대비 α의 비율을 0.15로 설정하였다.

Fig. 10 회색에서 초록색 선은 M_d,0 대비 α의 비율이 0.15일 때 무부하부터 30 kg까지 서로 다른 부하 무게에 대한 가변 어드미턴스 제어기의 성능을 보인다. 제안 제어기는 등속 운동 구간에서 부하 무게가 증가할수록 사용자에게 요구되는 상호 작용 힘이 증가하였다. 이는 부하 무게의 증가에 따라 어드미턴스 파라미터가 둔감하게 설정되기 때문이다. 반면 정지를 위해 감속을 시작할 때 제안된 가변 어드미턴스 제어기는 고정된 파라미터를 갖는 어드미턴스 제어기보다 진동이 억제되며 상호 작용 힘이 절반으로 감소되는 것이 확인되었다. 따라서 보다 안정적으로 착용형 로봇에서 사용될 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 10 
Simulation results of the proposed variable admittance control when the load mass increases