퍼듀대학교(Purdue University)의 Lianis⁷는 스티렌-부타디엔 고무에 대한 실험을 통하여, 응력과 변형률간의 구성방정식을 만들었고, Lianis가 실험을 통하여 제안한 기본식을 응력과 변형률의 관계로 나타내면 다음과 같다.

σ(t)는 응력텐서이며, p(t)는 비압축성의 제한으로부터 온 압력이며, t는 현재의 시간, s는 과거에서 현재까지의 시간, B는 왼쪽 코시-그린 텐서(Left Cauchy-Green Tensor), C_t(s)는 오른쪽 상대 코시-그린 텐서(Right Relative Cauchy-Green Tensor), I₁과 I₂는 B의 스트레인불변량(Strain Invariants)이고, I는 3 × 3 항등행렬(Identity Matrix)이며, 식(1)에 필요한 모드에 대하여 경계조건을 적용하여 원하는 리아니스모델을 완성할 수 있다.

또한, 실험값인 P₀(t), Q₀(t), P₁(t), Q₁(t)은 스티렌-부타디엔 고무의 0°C에서 시간에 따라 변하는 물질의 특성이며, a, b, c, d는 일정한 값을 갖는 물질의 특성으로, 실험적으로 구하여진 값들은 Table 1 에 나타내었다.

미국 미시간대학교 기계공학과의 자동차 구조 내구성 센터(Center for Automotive Structural Durability Simulation)에서는 현가장치의 동역학적 현상을 정확히 예측하기 위하여 정확한 자동차 부싱의 모델이 필요하게 되었고, Lee와 Wineman^1,10은 복잡한 Lianis Model을 대체할 수 있는 새로운 점탄성 모델로서, Pipkin과 Rogers가 제안한 형태의 식을 부분적분법으로 정리한 후 하중과 변형량에 대한 새로운 관계식을 정립하여 이를 Pipkin-Rogers Model로 명명하였고, 이 관계를 축방향 모드에 대하여 제안한 기본식은 다음과 같다.

F(t)는 현재 시간 t에서의 힘을 나타내며, w(s)는 시간 s에서의 변위를 나타내고, R은 변위에 의존하는 힘완화함수(Displacement Dependent Force Relaxation Function)이다.

일반적인 모의실험에서는 컴퓨터를 이용하기 때문에 스텝변위 제어실험(Step Displacement Control Test)이 가능하지만, 실제의 실험을 수행함에 있어서는 스텝변위(Step Displacement)를 만들수가 없으므로, Ramp-to-Constant Displacement Control Test를 수행하여야 한다. 따라서, 본 연구에서도 기본 데이터를 얻는 과정에서 Ramp-to-Constant Displacement Control Test를 이용하였으며, 이에 대하여 Fig. 1에 나타내었다.

Fig. 1 
Ramp-to-Constant displacement control test

Fig. 1의 입력변위의 기울기는 t=Tj*에서 0으로 바뀌며, Ramp-to-Constant Displacement Control Test 의 결과인 힘은 Fig. 1의 Force Output에 나타나 있다. Fig. 1의 입력 변위는 j가 증가함에 따라 Tj*가 에 접근하는 것을 세 종류의 변위입력을 보여주고 있다. 또한, 구하여진 힘은 변위들 각 각에 대한 Ramp-to-Constant Displacement Control Test의 결과로 나온 힘이다. Tj*의 값을 최대한 0에 가까운 값을 갖는 실험을 수행한 후에, 이 실험데이터를 바탕으로 Tj*=0 이 되었을 때의 결과를 얻고자 하며, 이 결과로부터 스텝변위제어실험(Step Displacement Control Test)의 결과를 얻기 위하여는 외삽법(Extrapolation Method)의 사용이 반드시 필요하다. 외삽법은 다양한 램프함수의 결과를 스텝함수의 결과로 바꾸어 주는 것으로서 이에 대한 이론적 설명은 Lee¹의 박사학위논문에 상세히 설명되어 있다.

자동차 현가장치의 일래스토메릭 부싱은 다양한 형상을 가지고 있으나, 본 연구에서 고려한 형상은 가장 단순한 형태인 바깥쪽의 실린더형 슬리브와 안쪽의 실린더형 축 사이에서 가운데가 비어있는 실린더의 형태를 가지고 있으며, Fig. 2에 나타내었다.

Fig. 2 
Configurations of the elastomeric bushing

일래스토메릭 부싱은 가운데가 비어있는 실린더로 가정되어 축방향 대칭이며, 관성은 무시되었으며, 변형전과 변형후의 형상은 Fig. 3와 같다.

Fig. 3 
Reference and current configurations in axial mode

본 연구에서는, 바깥쪽 슬리브를 고정시키고, 가장 큰 변형이 발생하는 안쪽의 변위와 주어진 힘과의 관계를 가지는 축방향 모드를 고려하였으며, 경계조건으로 외부반지름에서의 축방향의 변위를 0으로 놓고, 내부반지름에서의 축방향 변위와 주어진 힘과의 관계를 구하였다. Lianis 가 제안한 식(1)을 축방향 모드에 대하여 정리하면 다음과 같다.

Lee¹는 주어진 하중 F(t)와 외부반지름에서의 축방향 변위 w(s)의 관계를 구하고자 하였으며, 시간 s < 0에서는 주어진 하중도 없으며, 변위도 발생하지 않는 것으로 가정하였으며, Lianis의 실험식에 기초한 Lianis Model을 이용하여, Ramp-to-Constant Displacement Control Test를 수행하여 모의실험데이터를 확보하였으며, 힘에 대한 외삽법(Force Extrapolation Method)과 최소자승법(Least Squares Method) 을 이용하여 변위에 의존하는 힘완화함수(Displacement Dependent Force Relaxation Function)를 구하여 소수점 넷째 자리까지 완성한 축방향 모드에 대한 핍킨-라저스모델은 다음과 같다.

식(4)로부터, w(s) =0.1부터 1.0에 대한 Step Displacement Control Test의 결과인 힘(Force)은 변위에 의존하는 힘완화함수(Displacement Dependent Force Relaxation Function)로서 R(w(s),t)로 나타내며, Fig. 4에 나타내었다.

Fig. 4 
Displacement dependent force relaxation functions

힘완화함수(Force Relaxation Function) R(w(s),t)은 식(4)와 같이 내부반지름에서의 축방향 변위인 w(s)의 홀수의 거듭제곱들의 합의 형태로 식(5)와 같이 표현된다.

식(5)는 지금까지 널리 이용되어 왔으나, 고무물질에 대한 점탄성현상을 포함하는 종합적인 시뮬레이션이 복잡화되고 있는 현실에서는 보다 단순한 식의 필요성이 제기되고 있으므로, 본 연구에서는 힘완화함수(Force Relaxation Function) R(w(s),t)을 내부반지름에서의 축방향 변위인 w(s)와 현재시간 t의 함수인 G(t)와의 곱인 선형관계의 식을 이용한 수정된 핍킨-라저스모델(Modified Pipkin-Rogers Model)로 제안하며 다음과 같이 정리하였다.

식(6)은 구성된 식의 단순성으로 그 효용성이 증대될 수 있으며, 그동안 오차를 조절하지 못하여 제안되지 못하였으나, 컴퓨터와 수치해석의 발전으로 인하여 본 연구에서는 고무물질에 대한 오차범위 내에서 충분히 사용가능함이 증명되었다.

Figs. 5는 4의 데이터에 선형 최소자승법을 적용한 불연속 데이터 G(t)를 나타내고 있으며, 시간에 대한 불연속성을 표현하고자 본문에서는 G(t_a)로 표기하였다.

Fig. 5 
Coefficients of Force relaxation function

시간 t_a(a = 1, 2, 3, ..., 41)에 대한 G(t_a)를 다음과 같이 다항식함수(Polynomial Function)로 정의하였다.

본 연구에서는 n = 6 을 사용한 6차다항식을 이용하였으며, 수정된 핍킨-라저스모델(Modified Pipkin-Rogers Model)에 필요한 힘완화함수 G(t)는 다음과 같다.

Fig. 5의 불연속데이터를 ‘o’로 표기하고, 식(8)의 결과를 실선으로 표기하여 Fig. 6에 나타내었다.

Fig. 6 
Coefficients of force relaxation function

G(t)와 G(t_a)를 비교하기 위하여, G(t)의 G(t_a)의 에 대한 상대 오차를 2-Norm 개념을 도입하여 다음과 같이 정의하였다.

G(t)의 G(t_a)에 대한 상대오차는 0.23% 이며, 점탄성 모델을 축방향모드에 대하여 완성한 Modified Pipkin-Rogers Model은 다음과 같다.

Pipkin-Rogers Model과 Modified Pipkin-Rogers Model에 대하여, 주어진 동일한 변위로부터 구하여진 힘 F(t)의 결과를 비교하였다.

Fig. 4는 Pipkin-Rogers Model의 결과로 나온 힘 F(t)를 나타내고 있으며, Figs. 7은 4와 동일하게 주어진 Displacement Input에 대하여 Modified Pipkin-Rogers Model을 이용한 결과를 보여주고 있다.

Fig. 7 
Force output from modified Pipkin-Rogers model

두 모델의 결과인 F(t)를 비교하기 위하여, 식(9)와 같은 방법으로 상대오차를 놈(2-Norm)을 이용하여, 다음과 같이 정의하였다.

식(11)로부터, w(s) =0.1부터 1.0에 대하여, Modified Pipkin-Rogers Model 결과의 Pipkin-Rogers Model 결과에 대한 상대오차는 각각 7, 6.61, 5.97, 5.09, 4, 2.73, 1.32, 0.3, 1.71, 3.1% 로 제안한 점탄성 부싱모델이 부싱모델로서 사용가능함을 알 수 있다. w(s) = 0.1, 0.2, 0.3 등 주어진 변위의 값이 작은 경우에 상대오차가 큰 원인은 주어진 실험데이터의 범위가 넓어짐에 따른 것이라 할 수 있으며, 이는 데이터의 양을 보다 많이 획득함으로서 해결이 가능하며 고무부싱의 어려운 예측을 고려하여 볼 때 10% 미만의 오차는 여전히 유효하다고 할 수 있다.