Fig. 2(a)은 본 연구에서 고려한 2단 감속 서보 시스템의 개략도이다. 고정축에 고정된 세그멘트 기어 2는 회전하지 않고, 피니언 2, 회전축, 기어 1, 피니언 1, 모터 및 베어링을 포함한 Fig. 2(a)에서 사선 친 부분이 AA'¯축에 대해 회전한다.

각 회전축에 존재하는 베어링은 예압에 의해 간극 없이 각 축을 지지한다고 가정하였으며, 점성마찰 및 감쇠효과는 무시하였다. 이와 같은 가정 하에 얻어진 Fig. 2(a)에 대한 상세 모델은 Fig. 2(b)와 같다. 여기서 피니언 1과 기어 1은 각각의 관성모멘트와 하나의 비틀림스프링으로 모델링하였다.

피니언1의 관성모멘트는 모터 관성모멘트에 포함시켰으며, 기어 1측에 표현된 비틀림스프링은 피니언 1과 기어 1의 이 강성에 의해 생기는 비틀림강성로 표현하였다.⁸ 회전축의 경우 관성모멘트는 기어 1과 피니언 2사이의 회전축 길이 1/2되는 지점에 집중되어 있다고 가정하였으며, 비틀림스프링은 회전축 비틀림강성 값의 2배 인 비틀림스프링이 기어 1과 피니언 2에 각각 연결된 것으로 모델링 하였다.

그리고, 기어 2와 고정축은 회전하지 않으므로, 비틀림스프링만이 존재한다고 가정하였고, 이 물림에서 발생하는 백래시는 피니언 고정 시 회전하는 기어의 회전각으로 각각 표현하였다. 이점쇄선으로 묶은 부분은 Fig. 2(a)의 전체 회전부로 부하를 의미한다.

본 연구에서 고려된 서보시스템은 Fig. 1에 나타낸 바와같이 Fig. 2(a)의 세부구조, 모터전압증폭기 및 태코제너레이터 필터로 구성되어 있다.

모터전압증폭기는 모터에 입력되는 전압을 증폭하기 위해 사용되며, 엑추에이터로는 태코제너레이터가 부착된 영구자석 필드형 DC 모터가 사용되었다.

또한, 태코제너레이터의 출력전압을 필터링하기 위하여 2차 저역필터가 사용되었으며, 모터전압증폭기의 특성은 관심있는 주파수영역 전체에 걸쳐 일정하여 모터입력전압과 모터전압증폭기의 입력전압의 관계식은 다음과 같다.

또한, 엑츄에이터인 모터의 전기식 방정식은 다음과 같다.

그리고, 모터 회전 각속도를 측정하기 위해 사용된 태코제너레이터의 출력전압과 모터 회전각속도와의 관계는 다음과 같다.

테코제너레이더 필터를 통과한 테코제너레이터필터 출력전압은 다음과 같다.

엑츄에이터로 사용된 모터의 운동방정식은 다음과 같다.

피니언 1과 기어 1사이의 백래시에 의해 기어 1에 전달된 토크는 다음과 같이 비선형 식으로 표현되며 이때 사용한 백래시 모델은 Nordin, Galic과 Gutman⁹의 연구논문에 수록된 데드존 모델을 사용하였다.

여기서, ADSS의 첫번째 기어 감속단의 각 전달오차는 다음과 같다.

기어 1의 운동방정식은 다음과 같다.

회전축 1의 운동방정식은 다음과 같다.

피니언 2의 운동방정식은 다음과 같다.

여기서, 피니언 2와 기어 2사이의 공전 감속비는 다음과 같다.

부하 토크는 식(6)과 같이 피니언 2와 기어 2사이의 백래시에 의해 다음과 같이 표현된다.

여기서, 두번째 기어 감속단의 각 전달오차는 다음과 같다.

또한, 기어 2와 고정축의 등가비틀림강성은 Chubb⁸에 의해 다음과 같이 표현된다.

마지막으로, ADSS의 최종부하단 운동방정식은 다음과 같다.

지금까지 유도한 식들로부터 모터전압증폭기 입력전압 V_i에 대한 태코제너레이터필터의 출력전압 응답 V_o을 얻을 수 있다.

그리고, 백래시 비율이란 정의에 따라 다음과 같다.

각 단의 백래시 크기와 전체 백래시 크기와의 관계를 살펴보면 다음과 같다.

끝으로 각도 백래시 b_i와 δ_i와 관계는 다음과 같다.

Fig. 3(a)는 EDSS의 상세구조를 나타내며, 모델은 Fig. 3(b)와 같이 표현된다. 기어 2는 부하에 직접 부착되어 있으므로 기어 2의 관성모멘트는 부하 관성모멘트에 포함시키고 비틀림강성 만을 스프링으로 표현하였다. EDSS는 구조가 다소 다르긴 하나 ADSS와 동일한 모터전압증폭기와 태코제너레이터 필터를 사용하고 있으며 ADSS와 유사한 2단 기어감속구조를 가지므로 2.1절의 식(10)부터 식(14)와 식(16), 식(17)들을 다음 식(19)부터 식(23)들로 대체하면 EDSS의 운동방정식들을 구할 수 있다.

결국, 식(1)부터 식(9), 식(15), 식(19)부터 식(23)으로부터 모터 전압증폭기 입력전압 V_i에 대한 태코제너레이터 필터의 출력전압응답 V_o을 얻을 수 있다.

Fig. 6은 입력전압 V_i가 0.97 V_pk, 1.22 V_pk, 1.46 V_pk, 1.95 V_pk, 2.43 V_pk, 3.41 V_pk일때 ADSS의 반공진 및 공진주파수의 크기변화를 나타내며, 백래시 비율이 커질수록 반공진 및 공진주파수 값이 커지며 백래시 비율이 100%일 때 반공진 및 공진주파수가 최대가 됨을 볼 수 있다. 이것은 2단 기어감속 서보시스템에서 최종 부하단에서 측정되는 전체백래시 크기가 동일할지라도 가능하면 2번째 감속단에 존재하는 백래시 크기가 작아야 시스템이 넓은 속도제어대역폭을 가질 수 있음을 의미한다.

Fig. 6 
The change of anti-resonance & resonance frequency of ADSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 0.97 V_pk and 3.41 V_pk

Figs. 7는 6에서 사용한 가장 낮은 전압 0.97 V_pk보다 낮은 입력전압인 0.73 V_pk, 0.78 V_pk, 0.83 V_pk, 0.88 V_pk, 0.93 V_pk일때 백래시 비율 변화에 따른 ADSS의 반공진 및 공진주파수변화를 나타내며 Fig. 6의 결과와 달리 백래시 비율이 100% 일 때 반공진 및 공진주파수가 최대가 되는 것이 아니라 각 입력 전압 별로 서로 다른 백래시 비율에서 반공진 및 공진주파수가 최대가 됨을 볼 수 있다. Figs. 6과 7의 결과를 통해 백래시 비율이 100%일 때 반공진 및 공진주파수가 최대가 되기 위해서는 본 시스템의 경우 모터입력전압 크기가 일정크기(V_i = 0.97 V_pk) 이상이 되어야 함을 알 수 있다.

Fig. 7 
The change of anti-resonance & resonance frequency of ADSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 0.73 V_pk and 0.93 V_pk

Fig. 8은 입력전압 V_i 크기가 증가함 따라 ADSS의 반공진 및 공진주파수가 증가하는 모습을 보여주며, 일정크기(0.97 V_pk) 이상의 전압에서는 백래시 비율이 100% 일 때 반공진 및 공진주파수 크기가 최대가 됨을 볼 수 있다.

Fig. 8 
The change of anti-resonance & resonance frequency ADSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 0. 73 V_pk and 4.36 V_pk

Fig. 9은 EDSS의 모터전압증폭기에 입력되는 입력전압과 백래시 비율에 따른 반공진 및 공진주파수 변화 모습으로 Fig. 6과 달리 백래시 비율이 커지더라도 반공진 및 공진주파수가 일정하게 커지는 현상을 관찰되지 않으며 각 입력전압 별로 반공진 및 공진주파수가 최대가 되는 백래시 비율이 서로 다름을 볼 수 있다.

Fig. 9 
The change of anti-resonance & resonance frequency of EDSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 0.97 V_pk and 3.41 V_pk

Figs. 9과 6이 서로 다른 현상을 나타내는 원인분석을 위해 ADSS와 EDSS 사용된 모터의 최대입력허용전압은 V_m = 17.9V_pk (V_i = 4.36 V_pk) 이나 EDSS 의 경우 모터에 입력되는 입력전압을 V_m = 20.0 V_pk (V_i = 4.87V_pk), 25.0 V_pk (V_i = 5.35 V_pk), 30.0 V_pk (V_i = 7.3 V_pk), 40.0 V_pk(V_i = 9.73 V_pk), 50.0 V_pk (V_i = 12.17 V_pk)로 증가시켜가며 시뮬레이션하여 그 결과를 Fig. 10에 나타내었다.

Fig. 10 
The change of anti-resonance & resonance frequency of EDSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 4.36 V_pk and 12.17 V_pk

Fig. 10는 입력전압 V_i가 충분히 커지면 Fig. 6의 결과와 마찬가지로 백래시 비율이 커질수록 시스템의 반공진 및 공진주파수가 커짐을 볼 수 있으며 Fig. 6과 마찬가지로 백래시 비율이 100%일때 반공진 및 공진주파수가최대가 됨을 볼 수 있다.

Fig. 11은 입력전압이 커짐에 따른 EDSS의 반공진 및 공진주파수의 변화이며 입력전압이 커짐에 따라 전체적인 반공진 및 공진주파수가 커짐을 볼 수 있으며, Fig. 8과 마찬가지로 일정크기 (V_i = 4.36 V_pk)이상의 입력전압에서는 백래시 비율이 100%일 때 반공진 및 공진주파수가 최대가 됨을 볼 수 있다.

Fig. 11 
The change of anti-resonance & resonance frequency EDSS according to the backlash ratio when the input voltage V_i is between 0.97 V_pk and 12.17 V_pk

Figs. 6과 10을 통해 전체백래시 크기가 동일한 2단 기어감속 서보시스템에 있어서 모터입력전압이 충분히 큰 경우에는 백래시 비율이 클수록 시스템의 반공진 및 공진주파수가 커진다는 것을 알 수 있었다. 여기서, 백래시 비율이 크다는 의미는 전체 백래시중 첫번째 감속단의 백래시가 크다는 것을 의미하며 다시 말해 2번째 감속단에 존재하는 백래시를 가능한 작게 해야 시스템 반공진 및 공진주파수가 커지며 시스템 응답성능이 향상될 수 있음을 의미한다. 모터입력전압이 큰 경우 첫번째 감속단에 존재하는 백래시가 반공진 및 공진주파수에 미치는 영향이 두번째 감속단에 존재하는 백래시 영향보다 상대적으로 작아지는 이유는 Baek⁷이 설명한 바와같이 모터입력전압이 커짐에 따라 첫번째 감속단의 각 전달오차진폭크기가 커져 첫번째 감속단의 백래시 영향이 두번째 감속단의 백래시 영향 보다 상대적으로 작아지는 것으로 판단된다.

반면에 Figs. 7 과 9와 같이 시스템에 따라 모터입력전압 크기가 작은 경우에는 반공진 및 공진주파수가 최대가 되는 백래시 비율이 별도로 존재하므로 반공진주파수를 최대로 하는 각 단 백래시 크기를 결정하는 것이 시스템 무게증가 없이 보다 빠른 응답성을 갖는 시스템 설계에 유리함을 알 수 있다. 백래시 크기를 조정하는 방법으로는 기어와 피니언의 회전축간 거리를 조정하거나 기어 치형 가공 시 정밀가공을 통해 백래시를 조정하는 방법이 있다.¹⁰