본 논문의 MWS 장비는 강선에 다이아몬드 가루를 점착시켜 사파이어 글라스를 절삭하는 장비로 Fig. 1과 같다. 50 N의 장력을 가지는 200줄의 와이어가 반원 형태로 장착되어 회전하는 원통 형상의 부품을 메인 롤러라고 한다. 상부에 장착된 사파이어 잉곳이 하강하여 절삭이 수행된다. 이때 와이어의 장력이 일정하게 제어되므로 메인 롤러에 작용하는 힘은 일정하다고 할 수 있다. 와이어의 선 속도는 1200 m/min이고 메인 롤러를 회전시키는 모터는 약 1500 rpm으로 회전한다. Fig. 2와 같이 메인 롤러는 양쪽에 브라켓과 2개의 키와 중앙에 테이퍼를 이용하여 체결된다. 또한 총 절삭 시간인 약 8~12시간동안 약 1분 30초에 한번씩 회전 방향이 바뀌게 되는데 메인 롤러의 무게가 무거울 경우 회전방향을 바꾸기 위한 에너지가 크게 필요하게 된다. 본 논문에서의 메인 롤러는 330 mm 길이의 메인 롤러로 총 200줄의 와이어가 장착되며 각각 50 N의 장력을 가진다면 메인 롤러에 걸리는 힘은 10⁴ N이 된다. 또한 절삭되는 사파이어 글라스는 마이크로미터 단위의 정밀도를 가져야 한다. 따라서 회전 관성이 적으며 고강성의 메인 롤러 설계가 필요하다.

Fig. 1 
Multi-Wire saw machine and main roller

Fig. 2 
Bracket and key of Main roller

기존 메인 롤러의 선형 해석을 위하여 먼저 유한 요소를 이용한 모델링을 진행하였다. 재질은 Steel이며 무게는 약 70 kg이고 회전 관성 모멘트는 0.52 kg·m²이다. 전체 형상 및 단면 형상은 Fig. 3과 같다.

Fig. 3 
Finite element model of main roller section

구성된 유한요소 모델을 이용하여 자유단 조건에서 고유진동수 해석을 진행하였다. 첫번째 모드는 약 4438.5 Hz, 두번째 모드는 4441.2 Hz 로 나왔으며 그 모드 형상은 Fig. 4와 같다. 본 장비의 사용되는 모터의 가진 영역을 고려하면 공진은 일어나지 않을 것으로 판단되지만 모드 형상을 보면 3차 모드와 4차 모드의 경우는 각각 비틀림과 굽힘으로 도출되었는데 첫번째 두번째 모드 형상은 롤러 중앙부가 강성이 약하여 눌리는 형상이 도출되었음을 확인할 수 있었다.

Fig. 4 
Natural frequency mode of main roller on free-free condition

메인 롤러는 양쪽에 두개의 키로 고정되어 회전하는 형상으로 키가 장착되는 부분을 6자유도 구속 후 고유진동수 해석을 진행하였고 그 결과는 Fig. 5와 같다. 해석 결과 첫번째, 두번째 고유진동수는 각각 2133.2 Hz, 2165.2 Hz로 약 2300 Hz 감소하였지만 모터의 가진 영역대에서는 여전히 공진이 일어나지 않을 것임을 확인하였다. 모드 형상은 자유단 조건과 달리 양쪽 고정으로 인해 강성이 보강되어 비틀림과 굽힘 모드로 도출됨을 확인하였다.

Fig. 5 
Natural frequency mode of main roller on fixed condition

메인 롤러의 처짐 해석을 위하여 유한요소를 이용한 선형 해석 모델링을 진행하였다. 고유진동수 해석 때와 같이 양쪽에 2개의 키로 고정되는 부분은 6자유도 구속을 하고 하중은 Fig. 6과 같이 반원 형태로 와이어의 장력, 선속, 위치에 따라 메인 롤러 각 부분에 걸리는 힘을 다르게 주어지도록 구성하였으며 이에 대한 수식은 식(1)와 같다.⁵

Fig. 6 
Force condition of main roller

여기서 T는 절삭와이어의 장력을 의미하며 선 하나당 50 N을 메인 롤러에 가한다. v는 와이어의 선속도를 말하며, 본 연구에서는 1200 m/min로 가정하였다. θ는 회전 중심으로부터 반시계 방향으로의 각도이다. dm은 와이어와 접촉하는 메인 롤러의 미소 질량을 의미한다.

해석 결과 Fig. 7과 같이 변위는 약 2.014 μm가 메인 롤러 중심 부분에서 발생되었으며 최대 응력은 3.30 MPa로 키가 연결되는 부분에서 발생함을 확인하였다.

Fig. 7 
Static analysis results of main roller

메인 롤러의 최적화 형상 제안을 위해 위상최적화를 진행하였다. 사용한 소프트웨어는 Hyper Works의 Optisturct를 이용하였다. Fig. 8와 같이 메인 롤러의 최 외벽에서 10 mm 두께까지의 영역을 와이어가 장착되기 위한 최소한의 두께로 상정하였으며 비설계 영역으로 설정하였다. 또한, 이 10 mm 두께 안쪽의 영역을 설계 영역으로 설정하였다.

Fig. 8 
Design area and non-design area of the main roller

위상최적화를 위한 정식화는 아래 Table 1과 같다. 설계 영역의 밀도를 설계 변수로 설정하였다. 또한, 위상최적설계의 제한조건으로 발생하는 최대 응력과 변위를 유지 또는 감소시키고, 동시에 메인 롤러 모델의 고유진동수는 유지 또는 증가시키도록 하였다. 즉, 위와 같은 설계제한조건을 만족시키면서 설계 영역의 밀도를 최적화 알고리즘의 각 턴(Turn)마다 조정하여 질량을 최소화하도록 설정하였다.

위상 최적화 결과 아래 Fig. 9와 같이 메인 롤러의 단면 형상이 도출되었음을 확인하였는데 단면 형상이 아치 형상과 같이 굽은 형태가 도출됨을 확인하였다. 메인 롤러의 상세한 최종 형상을 도출하기 위해서는 상세최적설계를 위한 기초 모델을 수립하여야 한다. 이것은 위상 최적화로 도출된 형상은 최적설계 목표를 달성하는 정성적인 특성을 반영하기는 하지만, 가공을 위한 상세설계 치수를 설정할 수는 없기 때문이다. 따라서, 변형이나 진동수의 최적설계 결과를 반영하면서 가공성을 함께 고려한 메인 롤러의 기초 모델 도출이 필요하다. 즉, 여기서 언급한 기초 모델은 메인 롤러의 내부 혹은 외부에 곡선을 지양하면서, 구조적으로 아치 형상을 표현하는 모델이 필요하다고 할 수 있다.

Fig. 9 
Result of topology optimization

메인 롤러의 상세 최적설계를 위해 위상 최적화 결과를 기반으로 Fig. 10과 같이 상세 최적설계를 위한 기초 모델을 수립하였다. 앞 절에서 설명한 대로 메인 롤러의 단면 형상은 아치 형상을 표현하며 곡선이 없는 형태로 설정하였고 기존 모델과 와이어가 장착되는 부분의 면적은 같다.

Fig. 10 
Base main roller model for optimization

상세 최적화를 위한 기초 메인 롤러 모델의 단면 형상에서 아치를 표현하는 빗면 형상은 메인 롤러 외곽에도 표현되어 있고 이러한 외곽의 빗면을 Fig. 11과 같이 양쪽 브라켓에서 감싸도록 형상을 제안하였다. 기 수행된 고유 진동 모드에서 고정단 조건에서의 모드 형상에서 양쪽을 고정할 경우 메인 롤러 중앙의 강성이 증대됨을 확인하였으므로 브라켓이 양쪽을 지지하기 때문에 메인 롤러의 두께를 감소시킬 수 있을 것으로 예상되었다.

Fig. 11 
Full spindle comparison between basic and proposed model

최종 메인 롤러 형상 도출을 위해서 상세 최적화를 진행하였다. Fig. 12과 같이 메인 롤러 단면의 두께(t₁), 체결부 두께(t₂), 빗면의 높이(a), 넓이(b) 총 4 개의 설계 변수를 설정하여 실험 계획법의 박스벤켄법을 통해 총 27가지의 경우에 대해 시뮬레이션을 진행하고 질량에 대한 근사함수를 식(2)와 같이 도출하였다.

Fig. 12 
Design variables for detail optimization

도출된 근사 함수 식을 이용하여 위상최적화를 위한 제약조건 및 목적함수를 설정하였다. 제약조건은 변위, 고유진동수, 응력로 설정 후 목적함수는 질량 최소화로 Table 1과 같이 설정하여 최적화 진행 후 최적화 값을 도출하였다. 도출된 최적화 값은 a: 30 mm, b: 30 mm, t₁: 25 mm, t₂: 15 mm로 도출되었으며 해당 값을 이용하여 최적화 모델을 모델링하였고 검증을 위한 변위 및 고유 진동수 해석을 진행하였다.

그 결과 Table 2와 같이 최대 발생변위는 유지되었고, 최대 응력은 약 7% 감소하였음을 확인하였다. 고유진동수는 첫번째 주파수가 3967.6 Hz로 도출되어 소폭 감소하였지만 모터의 가진 주파수 고려 시 문제되지 않을 것으로 판단하였다. 또한 메인 롤러의 질량은 초기 모델 대비 약 14% 감소하였음을 확인하였다. 이로 인해 메인 롤러의 회전 관성 모멘트가 1.54% 감소되었음을 확인하였다.