전술한 것과 같이, 이중 적분으로 변위를 추정할 경우 측정된 가속도의 오차 성분으로 인해 이중 적분된 변위 데이터는 오차를 갖게 된다. 특히, 변위에서 드리프트 현상으로 발생하는데 이것이 오염 성분에 의한 드리프트인지 실제 신호인지의 구분이 어렵다.

더욱이 본 연구에서는 공작기계의 모션을 고려한다. 스무딩이 적용되지 않은 많은 경우, 직선 운동을 하게 된다. 이는 제어적 관점에서 유사 스텝 모션이다. 유사 스텝 모션은 이론적으로 거의 전 주파수 성분을 갖는다. 이러한 유사 스텝 모션을 추정하기 위해서는 보정 전 데이터 및 추정 알고리즘의 대역폭이 넓어야 한다. 그러나 센서에 의한 취득되는 보정 전 데이터에 실린 정보의 대역폭 한계가 존재하고, 샘플링에 의한 대역폭 한계 역시 존재한다. 더욱이 추정 알고리즘 역시, 알고리즘 자체 기인하는 대역폭 한계를 갖게 된다. 곧, 가속도계 및 적분 알고리즘을 이용한 기존의 방법으로 유사 스텝 모션을 추정하는 것을 어렵다. 따라서 이러한 대역폭 문제를 해결해야 한다

본 장에서는 제안 변위 추정 알고리즘을 제시한다. 본 연구에서는 스핀들에 부착된 저주파 가속도계로부터 가속도와 모션 제어기 내부의 모터 엔코더 정보를 함께 사용하였다. 먼저, 모터 엔코더 정보를 사용한 배경 및 근거에 대해 논하고, 이후 제안 알고리즘의 상세한 방법을 제시하겠다.

유사 스텝 모션의 이중 적분에 의한 변위 환산에서의 문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 Fig. 2와 같이 스핀들 가속도계의 가속도 데이터 이외에 모터 엔코더 정보를 이용하여 유사 스텝 모션의 기초 정보로 활용하였다. 곧 모터 엔코더의 변위 정보 위에 스핀들의 보정된 변위 정보를 더하여 유사 스텝 모션을 다음과 같이 추정하였다.

Fig. 2 
Proposed spindle displacement estimation algorithm

여기서 d_est(t)는 추정된 스핀들의 변위이고, d_enc(t)는 모터 엔코더에 의해 측정된 변위이고, d_mod(t)는 스핀들 가속도계에 의한 측정 가속도와 모터 엔코더에 의해 측정된 변위를 이용한 보정값이다. 이는 저주파 성분을 갖는 변위 데이터를 기초로 활용하고 이를 가속도 데이터로 보정함을 의미한다.

다음으로 이 보정값 d_mod(t)의 도출 방법에 대해 제시한다. 차분 데이터 획득, 적분, 드리프트 추종 필터, 이 과정들의 반복으로 네 가지로 나눠서 설명한다.

첫째, 차분 데이터 a_diff의 획득이다. 모터 엔코더에 의해 측정된 변위를 보정하기 위해서는 보정값은 차분값이어야 한다. 이 차분은 모터 엔코더에 의해 측정된 변위와 스핀들의 가속도계에 측정된 가속도이다. 차원을 맞추기 위해 모터 엔코더에서 계측된 변위 데이터 d_enc(t)를 이중 미분하여 가속도 데이터로 변환한다. 그다음, 이것에서 가속도계에서 계측한 가속도 a_acc(t)를 다음과 같이 빼주었다.

여기서, s는 라플라스 연산자이다. 간략한 표현을 위해 앞으로 시간변수는 생략한다.

둘째, 데이터에 대한 이중 적분이다. 위와 같이 도출된 가속도 차분인 a_diff를 이중 적분하였다. 그러나 단순하게 이중 적분만을 하게 되면 측정잡음 및 수치 누설에 의한 오염 요소가 드리프트를 발생시킨다. 따라서 매 적분마다 이 드리프트 요소를 추정하고 제거하는 필터를 구현하였다.

셋째, 드리프트 추종 필터 관련 내용이다. 추정된 드리프트 정보를 이용하여 드리프트 요소를 제거하는 식은 다음과 같다.

여기서 구현된 드리프트 추종 필터 f_2k+1(·)는 다음과 같다.

여기서, Δt는 데이터의 샘플링 시간을, k는 드리프트 추종 필터에 사용되는 데이터 크기와 관련한 변수이다. 참고로, 사용 데이터 크기는 (2k + 1)이다.

Fig. 3은 구현된 드리프트 추종 필터를 나타낸다. (2k + 1)개의 데이터를 평균하는 필터이다. 따라서 일종의 저주파 통과 필터로서, 신호의 드리프트 성분을 추정한다. 데이터를 측정하는 시각은 (t + kΔt)이고, 필터가 필터링된 값을 내보내는 시각은 t이다. 이에 필터링에 의한 시간지연이 kΔt가 발생한다. 따라서 본 연구에서 제안하는 드리프트 제거 필터는 시간지연 kΔt의 수용 여부에 따라 실시간 필터가 될 수도 있고, 오프라인 필터가 될 수도 있다.

Fig. 3 
Drift tracking filter concept diagram

제안된 드리프트 제거 필터는 설정해야 하는 파라미터 k를 갖는다. 이는 평균 데이터 수와 관계된 파라미터이다. 실험 결과를 보이겠지만, 파라미터 k에 따라 추정 드리프트의 정확도가 달라진다. 본 연구에서 파라미터 k에 대한 설정에 데이터에 기반한 시행착오법을 적용하였다.

마지막으로, 전술한 과정을 속도 보정값 v_mod에 반복하는 것이다. 속도 보정값 v_mod에 위와 동일한 과정을 수행하여 차원을 속력에서 변위로 바꾼다.

전체적으로 이중 적분을 수행한 것이 된다. 전술한 것과 같이, 모터 엔코더 변위 데이터에 보정된 변위 데이터 d_mod를 더함으로써 최종적으로 스핀들의 변위 추정을 도출한다.

제안된 변위 추정 알고리즘을 요약하면 다음과 같다.

1) 모터 엔코더에서 계측된 변위 데이터 d_enc를 이중 미분하여 가속도 데이터로 변환한다.

2) 가속도계에서 계측된 가속도 데이터와 변환된 가속도 데이터 s²d_enc의 차이 a_diff를 구한다(식(2)).

3) 이 차이를 적분한다.

4) 이 적분값에 드리프트 추종 필터를 적용한다(식(4)).

5) 3)번에서 4)번 드리프트 추종값을 빼서 속도 보정값 v_mod를 얻는다(식(3)).

6) 속도 보정값 v_mod에 3)~5)를 다시 적용하여 변위 보정값 d_mod를 얻는다(식(5)).

7) 변위 보정값 d_mod를 모터 엔코더 변위 d_enc에 더함으로써, 최종적으로 스핀들 변위 추정 d_est을 도출한다(식(1)).

Case 1 (모터 엔코더 정보 미사용)

전술한 것과 같이 제안 변위 추정 알고리즘은 계측된 스핀들의 가속도 데이터만을 사용하지 않는다. 타겟 스핀들 변위 파형이 유사 정현파인 경우, 계측된 스핀들의 가속도 데이터만 이용한 변위 추정이 가능하다. 그러나 유사 스텝 파형의 경우, 스핀들의 변위 추정이 되지 않는다. 이는 유사 스텝 파형이 전주파수 요소를 가지기 때문인 것으로 보인다. Fig. 6은 계측된 스핀들의 가속도 데이터만을 사용하여 적분하고 드리프트 성분을 추정하여 제거한 결과이다. Figs. 6(a), 6(b)는 가속도 데이터를 적분한 결과와 드리프트 추정을 나타내고, 6(b), 6(d)는 추정된 드리프트 성분을 제거하여 추정한 결과이다. Fig. 6(a)에서 적분된 가속도가 양의 방향으로 드리프트 하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6 
Case 1 Integration of the measured spindle acceleration data and estimated velocity by removing drift

또한 Figs. 6(b), 6(d)에서 비교 알고리즘은 드리프트 성분을 제대로 추정하지 못함을 확인할 수 있다. 그러나 Fig. 6(d)에서와 같이, 제안 알고리즘도 어느 정도 오차 내에서 유사하게 드리프트의 성분을 추정하나 정확히 추정하는 것은 아님을 알 수 있다. 또한 Fig. 6(b)에서 드리프트 성분이 어떤 것인지 불명확하다. 따라서 유사 스텝 파형의 경우 계측된 스핀들의 가속도 데이터만 이용한 변위 추정이 어려움을 알 수 있다.

Case 2 (드리프트 제거 필터 특성)

반면, Fig. 7은 계측 및 이중 미분된 엔코더 데이터와 계측된 스핀들의 가속도 데이터의 차이(차분)에 제안 알고리즘의 일부를 적용한 결과이다. 곧, 두 데이터의 차이에 적분을 수행하고 드리프트 성분을 추정해 보았다. Figs. 7(a), 7(b)는 차분 데이터를 적분한 결과와 드리프트 추정을 나타내고, 7(b), 7(d)는 추정된 드리프트 성분을 제거하여 추정한 결과이다. Fig. 7(c)에서 비교 알고리즘이 추정한 드리프트 성분을 제거했음에도 드리프트 성분이 남아 있음을 확인할 수 있다. 반면, Figs. 7(b), 7(d)에서 제안 알고리즘이 드리프트 성분을 잘 추정함을 알 수 있다. 따라서, 엔코더 변위 데이터의 유용성 및 제안 알고리즘의 드리프트 추정 및 제거 필터의 작동을 확인할 수 있다.

Fig. 7 
Case 2 Integration of the acceleration difference and estimated velocity difference by removing drift

Case 3 (파라미터 k의 영향)

Fig. 8은 드리프트 추종 필터에 사용하는 데이터 개수의 영향을 나타낸다. 데이터의 개수는 50, 100, 300, 500으로 설정하고 제안 알고리즘을 이용하여 스핀들의 변위를 추정하였다. 먼저, 데이터가 너무 작거나, 너무 크지 않은 특정한 개수(100개)에서 약 13초 전후에 존재하는 진동 성분을 잘 추정함을 확인할 수 있다. 두 번째로 약 14초와 15.9초 사이의 속도가 0인 영역에서는 데이터의 개수가 커질수록 추정 오차가 커짐을 확인할 수 있다. 본 연구에서 최적값을 찾기 위해, 5개의 데이터 간격으로 제안 알고리즘을 수행하고, 오차 RMS를 기준으로 최적 데이터 개수를 75개로 선정하였다.

Fig. 8 
Case 3 Performance of the drift tracking filter according to parameter k

Case 4 (제안 알고리즘 성능)

Fig. 9는 제안 변위 추정 알고리즘의 결과를 나타낸다. Fig. 9(a)에서 모터 엔코더의 변위는 레이저 변위로 측정된 스핀들의 변위와 차이가 약 200 μm 정도 존재하는 것을 알 수 있다. 즉, 모터 엔코더 정보로는 스핀들의 모션을 충분히 표현하지 못함을 알 수 있다.

Fig. 9 
Case 4 Estimation result of spindle displacement (Time domain)

Fig. 9(b)에서 제안 변위 추정 알고리즘의 정확도를 알 수 있다. 등속구간에서 약 20 μm 이하의 오차, 가감속 구간에서 50 μm 이하의 오차를 갖는 것을 확인할 수 있다. 이는 제안 알고리즘이 작동함과 공작기계의 스핀들 변위 추정에 사용될 수 있을 나타낸다. Figs. 9(c), 9(d)는 좀 더 긴 스트로크의 결과로 유사한 결과를 확인할 수 있다.

Fig. 10은 제안 알고리즘에 의한 변위 추정 결과와 레이저 변위기에 의해 측정된 스핀들의 변위 주파수 영역에서의 비교이다. 크기 측면에서는 약 50 Hz까지, 각도 측면에서는 약 40 Hz까지 유사한 결과가 나타남을 확인할 수 있다.

Fig. 10 
Case 4 Estimation result of spindle displacement (Frequency domain)

가속도 데이터를 이용하여 변위 데이터를 추정하는 방법에 있어 본 연구의 가장 큰 특징은 엔코더 변위 정보의 사용과 드리프트 추종 필터에 의한 드리프트의 추종 및 제거이다.

일반적으로 가속도계는 저주파 성분을 잘 측정하지 못하며 전술한 것과 같이 변위 차원에 있어서 대역폭의 문제가 존재한다. 본 연구에서는 이러한 대역폭의 문제를 해결하기 위해 엔코더 변위 정보를 가속도 데이터와 함께 사용하였다. Fig. 11은 Case 1에서 추정된 드리프트의 주파수 분석 그래프이다. 비교 알고리즘에 의한 추정된 드리프트가 갖는 주파수 성분이 저주파 영역에서 적음을 확인할 수 있다. 드리프트 추종 필터의 성능에서 가장 주요한 점은 데이터 개수이다. Fig. 8에서 데이터의 개수에 따라 동특성의 영향이 큰 부분과 작은 부분에서 다른 영향 차이를 확인하고 최적의 데이터 개수를 선정하였다.

Fig. 11 
Comparison of estimated drifts in the frequency domain (Case 1)

그러나 제안 알고리즘을 공작기계 분야에 직접적으로 적용하기에는 성능적 측면에서 부족한 부분이 있는 것으로 판단된다. 먼저 변위 오차의 크기에 대한 성능에 대해 논한다. 범용기인 머시닝센터 3, 5호기에서 피치오차보정 후에 약 5-10 μm 이하의 변위 추종 오차가 요구된다. 따라서, 직접적으로 비교는 어렵지만 간접적으로 최소 1 μm 이하의 변위 오차가 필요할 것으로 판단된다.

제안된 알고리즘은 고정된 데이터 개수를 갖는 알고리즘으로써 임의의 시간대 어디에서나 데이터 개수가 일정하다는 특징이 있다. 이는 특정 시간대의 특성에 따라 데이터 개수를 변경할 수 있다면 제안된 변위 추정 알고리즘의 성능을 더 끌어올릴 수 있음을 나타낸다. 이러한 고찰에 기반하여, 추후 신호 특성에 따라 데이터 개수를 가변하는 알고리즘을 제안하여 요구되는 변위 오차에 만족시킬 수 있는지 후속 연구를 진행하고자 한다.

둘째로, 제안 알고리즘의 대역폭에 대해 고찰하고자 한다. 응용 분야에 따라 필요로 하는 대역폭이 다를 것으로 판단된다. 단순히 공작기계의 이송계 모션에 대한 모사나, 대형 공작기계에 발생하는 약 30-50 Hz의 잔류 진동에 의한 스핀들의 진동을 보기 위해서는 정밀도가 충분히 확보될 수 있다는 가정 하에 현재 대역폭으로도 공작기계 분야에서 사용이 가능할 것으로 판단한다. 그러나 구조 진동을 고려하거나 윤곽 오차에 대한 스핀들의 변위를 살피고, 엔드밀의 동특성을 분석, 모델링하는 영역에 사용하기에는 현재 대역폭을 매우 부족하다 하겠다. 가속도계가 일반적으로 높은 대역폭을 갖는 것을 고려하였을때 변위 추정 알고리즘의 수정이 필요해 보인다. 다만, 이러한 대역폭 문제는 일부 변위 오차와 관련이 있기 때문에, 추후 변위 오차 감소를 달성할 경우 일정 이상의 대역폭이 증가할 것으로 판단된다.