Table 2와 같이 에너지 저장용량과 최대 로터 회전속도를 각각 10 kWh, 10000 RPM으로 정하고, 이를 식(1)에 대입하여 극관성 모멘트를 계산하면, 극관성 모멘트는 65.72 kg·m²의 고정된 값으로 나타난다. 그리고 형상을 결정하기 위해 관성모멘트 비를 변화시키며 형상에 따라 달라지는 로터의 동역학적 특성에 대해 다음 절에서 다루었다.

Fig. 2와 같이 축이 양단 고정 베어링에 의해 지지되며, 로터가 축과 함께 연결되어 각속도 ω로 z축을 중심으로 회전하고 있는 Jeffcott Rotor Model로서 회전체를 고려하였다.¹⁸ 이 경우, 로터가 축 전체 길이의 중앙에 위치하고, 로터의 기하학적 중심(Geometric Center)과 무게중심(Center of Gravity)이 완전히 일치하여 있을 경우, 이론적으로 축과 로터의 휘돌림(Whirling)이 없기 때문에 자이로스코픽 효과에 의한 모멘트를 무시할 수 있다. 그러나 디스크 형상으로 제작된 높은 밀도를 가진 고강도 강 로터는 제작 시 무게중심의 편심이 발생할 수 있으므로 이를 고려하여 설계하여야 한다. 그러므로 Fig. 3과 같이 로터 중심으로부터 x, y 방향으로의 편심 e_x, e_y가 존재하며, 기하학적 중심과 무게중심이 점 G와 점 C. G로 나타날 때, 축의 연성을 고려하여 Fig. 2의 자유물체도를 그리면 Fig. 4와 같다.

Fig. 2 
Fixed rotating disk with flexible axis and eccentricity

Fig. 3 
Fixed rotating disk with flexible axis and eccentricity

Fig. 4 
Free body diagram of fixed rotating disk y-z plane

먼저, Fig. 4에서 각운동량 I_pω가 z축 방향으로 로터 일체의 회전에 의해 나타난다. 동시에, 자이로스코픽 모멘트 M_G,x, M_G,y가 로터에 작용하고 있으며, 편심에 의한 직교 변위와 각 변위 x, y, ϕ_x, ϕ_y가 존재한다. 이에 따라 변위에 대한 반력 F_x, F_y, M_yz, M_zx를 고려하면 로터의 회전 운동에 의한 힘과 모멘트의 평형을 식(4)로 나타낼 수 있다.

식(4-c)와 식(4-d)의 자이로스코픽 효과에 의한 모멘트 항은 식(5-a), 식(5-2)와 같이 각각 나타낼 수 있다. 이를 식(4-c)와 식(4-d)에 대입하면 식(6)과 같이 4개의 방정식으로 평형방정식을 세울 수 있다.

식(4), 식(5)에서 나타나는 4개의 반력 항들은 다시 직교 변위, 각 변위에 대한 강성의 곱으로 식(7)과 같이 표현할 수 있으며, k_ll, k_aa, k_la는 각각 선형 강성, 회전 강성, 복합 강성으로서 회전체 재료의 탄성계수 E, 축 부 단면 이차 관성모멘트 I, 축 길이 l로 계산할 수 있다.¹⁹ 이를 다시 식(6)에 대입하고 정리하면 식(8)로서 운동방정식을 표현할 수 있다.

식(8)은 식(9)와 같이 행렬로 구성된 4자유도계 운동방정식으로 나타낼 수 있으며, 각 항은 식(10)으로 구성되어 있다.

식(10)에서 M 행렬은 시스템의 질량행렬, G 행렬은 자이로스코픽 행렬, K 행렬은 강성행렬, x 행렬은 변위 행렬이며, 식(9)의 해(변위행렬)를 구하는 과정에서 관성모멘트의 비를 변화시키며 계산을 수행하였고, 이를 바탕으로 다음 절에서 로터에서 발생하는 반경 방향과 축 방향 하중을 계산하여 베어링을 선정하고 수명을 계산하였다.

베어링에 적용되는 반경 방향 하중의 경우 관성모멘트 비를 변화시키며 변위행렬의 변화에 식(7)과 같이 강성행렬을 곱하여 반력을 계산함으로써 F_x와 F_y에 해당하는 반력 항의 평균을 반경 방향 힘으로 계산하였다. 축 방향 하중의 경우, 관성모멘트 비의 변화에 따라 로터의 질량이 증가하는데, 로터의 하중을 지탱하기 위해 로터 하부에는 베어링뿐만 아니라 케이싱이 함께 장착되어 로터의 무게를 지지한다. 또한 로터의 직상부에 전자석을 배치하여 로터를 부양시키므로 베어링에 적용되는 축 방향 하중은 로터 하중의 30%를 지지하도록 하였다. 이는 전류 차단과 같은 긴급상황 시 전자석의 미작동으로 인하여 시스템에 적용되는 로터 무게에 의한 하중이 발생시킬 수 있는 손상을 케이싱과 베어링을 통하여 지지하기 위함이며, 이에 따른 계산 결과를 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 5에서 축 방향 하중은 반경 방향 하중과 함께 나타나며, 축 방향 하중이 반경 방향 하중보다 항상 높은 수준으로 발생함을 알 수 있다. 따라서 반경 방향 하중을 지탱함과 동시에 축방향 하중을 지탱할 수 있는 베어링이 선정되어야 하며, 본 연구에서는 내륜 상용 엥귤러 볼베어링 NSK, Co. 7212 C Single로 채택하여 베어링 세부 사항을 Table 3에 나타내었다. Table 3에서, NSK, Co. 7212 C Single 베어링은 동적부하용량(Basic Dynamic Load), 정적부하용량(Basic Static Load)으로 각각 64 kN, 49 kN을 지닌다. 그리고 베어링 재료의 항복응력 1370 MPa, 최대 회전 가능 속도가 그리스 윤활, 오일 윤활 시 각각 9500 RPM, 13000 RPM을 가져 오일 윤활 시 로터의 최대 회전속도와 앞서 고려된 관성모멘트 비의 범위 내에서 계산된 반경 방향, 축 방향 하중을 충분히 안정적으로 지지할 수 있다. 앞서 계산된 반경 방향 및 축 방향 하중을 기반으로 ISO 베어링 내구수명 계산식 식(11)과 NSK, Co. Rolling Bearing 규격²⁰에 따라 관성모멘트 비의 변화에 의한 베어링 내구수명을 계산하였다.

Fig. 5 
Axial and radial force distribution of rotor versus increasing moment of inertia ratio

식(11-a)에서 L_h는 구하고자 하는 베어링의 수명 시간(hr), N은 베어링에 적용되는 회전수(RPM), C는 동적 부하 용량(kN) 그리고 P는 베어링에 적용되는 하중(kN)에 해당한다.

여기서 회전수 N은 10000 RPM이며, 동적 부하 용량 C는 64 kN으로서 NSK, Co. Rolling 베어링 규격에 의해 주어지는 값이다. 그리고 베어링에 적용되는 하중 P의 계산은 식(11-b)로 구할 수 있는데, X와 Y는 각각 반경 방향 하중 계수, 축 방향 하중 계수이며, 이 또한 베어링 규격에서 주어지는 값에 해당한다. 그리고 F_R과 F_A는 각각 반경 방향, 축 방향 하중이며, 앞서 계산하였던 반경 방향, 축 방향 하중을 대입하여 계산함으로써 관성모멘트 비에 따라 변화하는 수명시간을 Fig. 6에 나타내었다.

Fig. 6 
Bearing life design point

앞서 Fig. 5에서 관성모멘트 비가 증가할수록 반경 방향, 축 방향 하중이 증가하므로, Fig. 6에서 또한 증가하는 베어링 하중에 의해 관성모멘트 비가 증가할수록 베어링 수명이 감소함을 알 수 있으며, 본 연구에서는 베어링 수명 25000시간을 주는 관성모멘트 비 1.56을 설계점으로 채택하였다. 고강도 강 로터 FESS의 경우, 에너지 저장 밀도를 증가시키기 위해 극관성모멘트를 가능한 높게 설계하여 최대한 디스크 형상의 로터를 구현함과 동시에 축 방향, 반경 방향 하중을 최대한 낮은 수준으로 유지하여 베어링 수명을 높이는 것이 중요하다. 그러나 베어링이 로터 하우징 내의 진공에 가까운 매우 낮은 압력에서 운용되기 때문에 베어링 윤활유가 정밀하게 베어링 씰(Bearing Seal)을 통해 밀봉되어야 하고, 진공 내에서 고속 회전하는 로터를 지지하는 베어링은 회전 마찰에 의해 발생하는 열이 소산되기 어려워 열 변형에 취약하게 되므로 베어링 허용 수명을 25000시간으로 제한하였다. 이에 따라 관성모멘트 비 1.56으로 로터를 설계하고 이에 따른 로터 특성을 Table 4에 정리하였다.

Table 4에서 알 수 있듯, 로터는 질량이 1200 kg에 달하며, 반경이 0.38 m, 높이가 0.34 m이므로 디스크 형상을 가지는 회전체로 제작될 수 있으며, 구조의 표면적이 실린더 형상의 로터에 비해 넓어 냉각 효율을 증대시켜 높은 에너지 밀도를 나타낼 수 있다. 이에 따라 추후 설계될 마그네틱 베어링 시스템은 1200 kg(11.76 kN)의 무게를 부양시킬 수 있는 자기력을 생성할 수 있도록 제작되어야 한다.

일반적으로 로터는 회전 시 구조의 중심부에 가까울 수록, 그리고 회전 속도가 높을수록 로터 내부에서 발생하는 응력이 커지게 된다. 이에 따라 발생하는 높은 수준의 응력이 로터 재료의 항복 응력(Yield Stress)을 초과할 때 소성변형이 시작되어 극한 인장 강도(Ultimate Tensile Stress)에 도달하면 봉재의 경우 네킹(Necking)이 발생하여 재료의 두드러지는 변형을 일으킨다. 그러므로 앞서 설계된 로터가 최대 10000 RPM의 회전속도에서 회전체의 변형을 일으킬 지에 대한 검증이 필요하다. 따라서 본 연구에서는 Fig. 1의 로터 상 하부 끝 단 연결부에 로터-축 연결체(Rotor-Axial Housing Connect)가 체결되고, 이를 상, 하 축 부 하우징(Upper, Lower Axial Housing)이 감싸는 형태의 로터를 10000 RPM 회전속도에서 응력 해석을 수행하여 발생하는 응력을 파악하여 이를 Fig. 7에 나타내었다.

Fig. 7 
Rotor stress analysis

해석은 상용 프로그램 Abaqus를 통해 앞서 설계한 로터 형상 전체에 10000 RPM(1046.67 rad/s)의 회전 체적력(Rotational Body Force)을 로터의 중심을 기준으로 적용시켰으며, 로터 전체가 회전하기 때문에 구속(Constraint) 조건과 경계 조건(Boundary Condition) 없이 수행되었다.

Fig. 7에서 로터는 중심부에서 가장 높은 응력을 나타내어 최대 572.9 MPa가 나타나며, 상, 하 끝단의 체결 부에서 가장 낮은 유효 응력이 나타나 최소 11.51 MPa의 유효 응력이 나타났다. 그리고 로터 내부에서 발생한 응력이 로터의 중심선을 기준으로 서서히 로터 외부쪽으로 이동함을 알 수 있다.

따라서 로터 내부에서 가장 먼저 변형이 일어나 외부로 결함이 번질 수 있음을 확인하였다. 또한 로터 내부에서 발생한 최대 572.9 MPa의 유효응력은 로터 재료의 항복응력 1400 MPa의 약 40%에 달하는 응력이므로 재료의 탄성영역 내에서 두드러지는 변형 없이 안정적으로 운용할 수 있다고 판단하였다.

FESS에서 로터는 모터에 의해 가동되는 시간 하에서 항상 회전 가진력을 외부로부터 받고 있다. 뿐만 아니라 설계된 로터는 반경 0.38 m, 10000 RPM(1046.67 rad/s, 166.67 Hz)의 속도로 회전하므로 로터 끝 단 회전 속도는 397.7 m/s에 달한다. 따라서, 비록 로터 내부의 압력이 진공에 가깝도록 유지될 지라도 로터의 회전 속도에 기인하여 잔존 공기에 의한 충격파가 발생하여 추가적인 가진력에 노출될 수밖에 없다. 따라서 로터는 회전에 의해, 그리고 충격파에 의한 가진력으로 공진이 발생하지 않도록 로터의 회전 주파수보다 최소 200% 이상의 고유진동수 또는 이하의 고유진동수를 가져야 한다. 이에 따라 본 연구에서는 고유진동수와 모드를 파악하기 위한 해석을 수행하였으며, 이를 Fig. 8에 나타내었다.

Fig. 8 
Rotor modal analysis

Fig. 8에 나타난 로터의 1 - 5차 모드 형상에서 로터는 굽힘과 비틀림이 현상이 발생함을 알 수 있으며, 1차 모드가 발생하는 고유진동수가 2037.5 Hz 이므로 로터의 최대 운전 속도 166.67 Hz(10000 RPM)와 12배 이상의 차이가 난다. 따라서 회전 시 공진에 의한 로터의 변형은 고려하지 않아도 무방할 정도로 안전함을 알 수 있다.

설계된 로터와 베어링 시스템은 가동 시 특정 회전 속도에 도달하면 로터 자체의 회전과 로터의 회전축을 기준으로 회전체 시스템의 휘돌림(Whirling) 운동을 동반한다. 이에 따라 로터의 회전축은 로터의 회전 방향과 같은 방향으로 휘돌림 운동이 나타나는 전방 휘돌림(Forward Whirling) 운동 또는 로터의 회전 방향과 반대 방향으로 휘돌림 운동이 나타나는 후방 휘돌림(Backward Whirling)이 발생한다. 그리고 일반적으로 전, 후방 휘돌림 운동이 나타나는 운전 속도를 위험 속도로 판단한다. 뿐만 아니라 휘돌림 운동은 일반적으로 회전체 운동 안정성에 큰 영향을 미쳐 API Standard617에서는 전체 위험 속도가 운전 속도 범위 20% 이상의 상, 하 분리 여유를 가지도록 설계함을 원칙으로 하고 있다. 따라서 설계된 로터-베어링 시스템에서의 위험 속도를 판단하기 위해 Campbell Diagram을 작성하여 이를 Fig. 9에 나타내었다.

Fig. 9 
Campbell diagram

본 연구에서 수행된 위험속도 분석은 베어링의 감쇠를 고려하지 않고 계산되었으며, 이는 본 연구에서 설계된 베어링의 경우, 일반적 상용 구름 베어링으로, 로터 양 끝에 결합되었을 때 베어링 질량이 약 2 kg에 달한다. 따라서 베어링 질량이 로터에 비해 매우 작을뿐더러 구름 베어링 특성상 실질적으로 감쇠(Damping) 효과가 매우 작아 비감쇠 모델과 유사하기 때문이다.²¹

먼저, Fig. 9에서 1차 전, 후방 위험 속도의 경우 각각 B점과 A점으로 표시되어 있으며, B점의 경우, 167.24 RPM, A점의 경우 117.24 RPM 로서 후방 휘돌림 운동을 먼저 개시한 후 전방 휘돌림 운동으로 전개된다. 또한 2차 전, 후방 위험 속도는 각각 D, C점으로 표시되어 있으며, C점의 경우 454.09 RPM, D점의 경우, 545.69 RPM으로 나타난다. 위의 1차, 2차 위험 속도는 운전 속도 범위(2500 - 10000 RPM)에서 하(Downward) 20% 범위(2000 RPM) 이하에 존재하므로 API Standard 617에 부합하여 로터-베어링 시스템은 동적으로 안전하다고 판단할 수 있다.

한 편, 위와 같이 운전 속도 범위보다 매우 낮은 영역에서 1, 2차 위험 속도가 나타나는 원인을 본 연구에서는 로터의 높은 극관성모멘트로 판단하였다. 일반적인 로터-베어링 시스템에서의 경우, 운전영역의 20% 범위 이하 또는 이상의 영역에서 위험속도가 존재하기 위해 40 - 50%의 분리여유를 갖도록 설계된다. 그러나 본 연구에서 설계된 로터의 경우, 매우 높은 극관성모멘트와 질량을 가진 회전체이므로 회전을 시작한 시점 부근에서 위험 속도가 상대적으로 일찍 발생하고, 회전체가 일정 수준 이상의 회전운동을 개시하면 극관성모멘트가 매우 높기 때문에 외부 가진에 대한 저항이 높아 오히려 로터의 불안정적인 운동이 발생하기가 어려워지는 상황이 나타나는 것이라 판단하였다.